每日一题[408]巧换元，妙化简

这是我在QQ群中国数学解题研究会看到的问题：

若正实数$x,y$满足$(2xy-1)^2=(5y+2)(y-2)$，则$x+\dfrac 1{2y}$的最大值为_______．

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正确答案是$\dfrac {3\sqrt 2}{2}-1$．

解    先进行常规的转化，根据已知条件，有

$$\left(2x-\dfrac 1y\right)^2=\left(5+\dfrac 2y\right)\left(1-\dfrac 2y\right).$$

此时可以考虑换元，令$2x=m$，$\dfrac 1y=n$，则问题转化为求$\dfrac {m+n}2$的最大值，而条件转化为

$$(m-n)^2=(5+2n)(1-2n),$$ 即 $$m^2+5n^2-2mn+8n-5=0.$$ 接下来可以考虑判别式法，但是估计运算量不小．

怎么办呢？

分析刚才换元中的不足之处，有两点：

① 只是简单替换，左右两边还是需要展开；

② 右边有点像平方差公式，没有利用好．

因此先换元$\dfrac 2y=n-2$处理右边，此时

$$\left(5+\dfrac 2y\right)\left(1-\dfrac 2y\right)=(3+n)(3-n)=9-n^2,$$ 而直接设$2x-\dfrac 1y=m$处理左边，此时问题转化为求 $$\dfrac 12\left(2x+\dfrac 1y\right)=\dfrac 12(m+n-2)$$ 的最大值，条件转化为 $$m^2+n^2=9,$$ 其中$m+\dfrac 12n-1>0$且$n>2$．

此时

$$\dfrac 12(m+n-2)\leqslant \sqrt{\dfrac{m^2+n^2}2}-1=\dfrac{3\sqrt 2}2-1,$$ 等号当且仅当$m=n=\dfrac{3}{\sqrt 2}$时取得．因此所求的最大值为$\dfrac{3\sqrt 2}2-1$．

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其他方法（由meiyun提供）

注意到

$$x+\dfrac{1}{2y}=\dfrac {2xy+1}{2y},$$ 于是结合已经条件得所求式子为 $$\dfrac {\pm\sqrt{(5y+2)(y-2)}+2}{2y},y\geqslant 2.$$ 当$2xy-1\leqslant 0$时，有$x<\dfrac {1}{2y}\leqslant \dfrac 14$，从而 $$x+\dfrac {1}{2y}\leqslant \dfrac 14+\dfrac 14=\dfrac 12.$$ 当$2xy-1>0$时，令 $$t=\dfrac {\sqrt{(5y+2)(y-2)}+2}{2y},$$ 将$y$看成自变量整理该式得 $$(4t^2-5)y^2+8(1-t)y+8=0,$$ 这个关于$y$的方程有解的必要条件是 $$4t^2-5=0$$ 或 $$\begin{cases} 4t^2-5\ne 0,\\\Delta=-32(2t^2+4t-7)\geqslant 0.\end{cases}$$ 解得 $$t=\dfrac {\sqrt 5}{2}\lor t\leqslant \dfrac {3\sqrt 2}{2}-1,$$ 其中等号成立时$y=8+6\sqrt 2$满足要求．而 $$\dfrac 12<\dfrac {\sqrt 5}{2}<\dfrac {3\sqrt 2}{2}-1,$$ 故所求代数式的最大值为$\dfrac {3\sqrt 2}{2}-1$．

注　其他方法求最值的过程中用到了判别式法，对于这种自变量有限制的情况用判别式法求值域需要特别慎重，但对于求最值的问题，可以借助于判别式法探索出必要条件，再说明这个最值可以取到，大家可以理解一下求值域与求最值的区别．另外，我提供的这个其他方法好像是为了烘托原题解法的NB的……（meiyun）．