每日一题[403]从定义出发

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目：

已知$T,M,N$是圆$C:(x-1)^2+y^2=4$上的不同三点，且$\overrightarrow{CT}=a\overrightarrow{CM}+b\overrightarrow{CN}$，其中$a,b$均为正实数，则$\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a}$的取值范围是_______．

分析    确定$a,b$所满足的约束条件是解决问题的关键．

解    根据题意，设$\overrightarrow{CP}=a\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CQ}=b\overrightarrow{CN}$，则$a,b$满足的约束条件为$a,b,1$构成三角形的三边长，如图所示．

设 $$f(a,b)=\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a},$$ 则当$a\to 1-$，$b\to 0+$时，$f(a,b)\to 2$．下面证明$f(a,b)>2$，只需要证明 $$a^2+b^2+2b+\dfrac{b+1}a>2.$$

若$a\geqslant 1$，因为$\dfrac{b+1}a>1$，于是命题成立；

若$0<a<1$，则 $$LHS=(a+b)^2+2b(1-a)+\dfrac{b+1}a>2,$$ 命题也成立；

因此$f(a,b)>2$．又当$a\to 0+$，$b\to 1-$时，$f(a,b)\to +\infty$，结合函数的连续性，可得所求的取值范围是$(2,+\infty)$．