每日一题[391]友好三角形

2016年北京市海淀区高三期末理14（填空压轴题）：

已知$\triangle ABC$，若存在$\triangle A_1B_1C_1$，满足

$$\dfrac {\cos A}{\sin A_1}=\dfrac {\cos B}{\sin B_1}=\dfrac {\cos C}{\sin C_1}=1,$$ 则称$\triangle A_1B_1C_1$是$\triangle ABC$的一个“友好”三角形．

（1）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____；（请写出所有符合要求的条件的序号）

①$A=90^\circ,B=60^\circ,C=30^\circ$；

②$A=75^\circ,B=60^\circ,C=45^\circ$；

③$A=75^\circ,B=75^\circ,C=30^\circ$．

（2）若等腰$\triangle ABC$存在“友好”三角形，则其顶角的度数为____．

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正确答案是（1）②；（2）$45^\circ$．

解　三角形内角的正弦值非负知

$$\cos A>0,\cos B>0,\cos C>0,$$ 即$\triangle ABC$为锐角三角形．由条件知 $$\cos A=\sin\left(\dfrac {\pi}{2}-A\right )=\sin A_1,$$ 所以有 $$\left(\dfrac {\pi}{2}-A=A_1\right )\lor \left(\dfrac {\pi}{2}-A+A_1=\pi\right ).$$ 从而得到 $$A_1=\dfrac {\pi}{2}\pm A.$$ 同理有 $$B_1=\dfrac {\pi}{2}\pm B,C_1=\dfrac {\pi}{2}\pm C.$$ 接下来的问题是上面三个式子中的正负号如何选择．

事实上，如果某个式子取了正号，则对应的$\triangle A_1B_1C_1$中相应的内角为钝角，故最多只能有一个正号；而如果三个式子都取负号，则将三个式子相加会得到矛盾：

$$\pi=\dfrac {3\pi}{2}-\pi.$$ 故不妨设 $$\begin{split} A_1&=\dfrac {\pi}{2}+A,\\B_1&=\dfrac {\pi}{2}-B,\\C_1&=\dfrac {\pi}{2}-C.\end{split}$$ 将这三个式子左右两边分别相加得 $$B+C=\dfrac {\pi}{2}+A,$$ 解得$A=\dfrac {\pi}{4}$．所以（1）中只有②满足条件；（2）中，$45^\circ$的角必为等腰三角形的顶角，否则$\triangle ABC$为直角三角形．