每日一题[393]椭圆中的等腰三角形

椭圆$C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，若椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$，使得$\triangle F_1F_2P$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_____．

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正确答案是$\left(\dfrac 13,\dfrac 12\right )\cup\left(\dfrac 12,1\right )$．

解　$\triangle PF_1F_2$的一边长为$2c$，另外两边为椭圆的焦半径，考虑三边中哪条边为等腰三角形的底边，以此探究何时可以得到等腰三角形．

①如果底边为$F_1F_2$，则点$P$为短轴的两个顶点，得到两个不同的点；

②如果$F_1F_2$不为底边，不妨考虑以$PF_2$为底边（以$PF_1$为底边的情况完全相同），此时$PF_1=F_1F_2=2c$．故椭圆上能找到两点，使得$PF_1=2c$，由焦半径的取值范围知

$$2c\in[a-c,a+c],$$ 又$P,F_1,F_2$三点不共线，故$2c\ne a-c$，解得$e>\dfrac 13$．

最后，我们需要考虑，①②中得到的点$P$是否一定是不同的点？

事实上，当等腰$\triangle PF_1F_2$是等边三角形时，上面的六个点会重合成两个点，此时$a=2c$，不满足题意，故$e\ne\dfrac 12$．

综上知，$\dfrac 13<e<1$，且$e\ne \dfrac 12$．