2014年清华大学艺术生考试（回忆版）

1、已知函数$f(x)=\ln x-2x$．

（1）求函数$f(x)$的单调区间；

（2）若两个不相等的正实数$x_1,x_2$满足$f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2>1$．

2、已知$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=1$，$A,B,C\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，求$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$的最大值．

3、

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参考答案

1、（1）$f'(x)=\dfrac{1}{x}-2$，故函数$f(x)$在$\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$单调递增，在$\left(\dfrac{1}{2},+\infty \right)$单调递减．

（2）由（1）可知，不妨设$0<x_1<\dfrac{1}{2}<x_2$，由于$1-x_1>\dfrac{1}{2}$，函数$f(x)$在$\left(\dfrac{1}{2},+\infty \right)$单调递减，故只需证明$f(x_2)=f(x_1)<f(1-x_1)$即可．

令

$$g(x)=f(1-x)-f(x)=\ln(1-x)-\ln x+4x-2,x\in \left(0,\dfrac{1}{2}\right),$$ 因为 $$g'(x)=-\dfrac{(2x-1)^2}{x(1-x)}<0,x\in \left(0,\dfrac{1}{2}\right),$$ 故$x\in \left(0,\dfrac{1}{2}\right)$时，$g(x)>g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$．所以原命题成立．

2、由$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=2\sin A\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C$，而

$$\begin{split} &\left(\sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C\right)^2\\ \leqslant &\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C \right )\left(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C \right )\\=&2, \end{split}$$ 当且仅当$A=B=C=\arcsin \dfrac{\sqrt{3} }{3}$时等号成立，故$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$的最大值为$2\sqrt{2}$．