每日一题[392]从空间回到平面

已知点$A,B$分别为异面直线$a,b$上的点，且直线$AB$与$a,b$均垂直，动点$P\in a$，$Q\in b$，$PA+QB$为定值，则线段$PQ$中点$M$的轨迹是（          ）

A．平行四边形

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

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正确答案是 A．

分析    本题是每日一题[247]从平面到空间的升级版．用相同的方法，作直线$a,b$以及点$P,Q$在线段$AB$的中垂面上的投影，记为直线$a',b'$以及点$P',Q'$，则线段$P'Q'$的中点即点$M$，这样就把空间的问题转化成为了平面上的问题，如图．

解    设$PA+QB=2m$，而$OE=OF=OG=OH=m$．以$P',Q'$分别在射线$OF,OE$上为例．

由

$$OP'+OQ'=AP+BQ=2m,$$ 以及 $$OE+OF=2m,$$ 可得$FP'=EQ'$．

过$P'$作直线$EF$的平行线交直线$b'$于点$R$，则有

$$FP'=ER=EQ',$$ 于是线段$P'Q'$的中点$M$在线段$EF$上．

类似的，可得其他情形时点$M$的轨迹分别为线段$FG$，$GH$，$HE$．

综上所述，线段$PQ$中点$M$的轨迹是矩形$EFGH$，选 A．