每日一题[370]抽丝剥茧

这是数海拾贝读者俱乐部里看到的题：

已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,x\geqslant 0,\\x^2-2x,x<0\end{cases}$，若关于$x$的不等式$[f(x)]^2+af(x)-b^2<0$恰有一个整数解，则实数$a$的最大值为_____．

正确答案是$8$．

解　令$t=f(x)$，则题中不等式转化成$t^2+at-b^2<0$，由题意知此不等式一定有解，由不等式的形式知，解集可设为$(t_1,t_2)$，且有 $$t_1+t_2=-a,t_1t_2=-b^2\leqslant 0.$$

于是问题转化为$t_1<f(x)<t_2$恰有一个整数解，即函数$y=f(x)$的图象在直线$y=t_1$与$y=t_2$之间的部分（不包含边界）对应的横坐标中只有一个整数．作出$y=f(x)$的图象，如下：因为$t_1\leqslant 0\leqslant t_2$，要使得点$(0,0),(2,0)$不在阴影部分内，需要上下边界中至少有一个恰为$x$轴（也可以从代数角度考虑，因为$f(0)=f(2)=0$，要使得不等式只有一个整数解，就有$-b^2<0$就一定不成立，即$b=0$）．要求的值为$a$的最大值，所以先考虑$a>0$的情况，此时 $$t_1=-a<0,t_2=0,$$ 结合$f(x)$的图象知 $$t_1=-a\in[-8,-3),$$ 即$a\in(3,8]$，故$a$的最大值为$8$．

作为练习，大家可以考虑$a$的最小值．类似知，当$a<0$时，$a$的取值范围为$[-3,-1)$，故$a$的最小值为$-3$．