每日一题[372]双剑合璧

前几天刚好和王举老师一起刷到这道题：

$4$个相同的排球，$5$个相同的篮球装入$3$个不同的箱子，每箱至少有$1$个球，求不同的装法总数．

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正面解法（王举）

分为三类．

第一类，$4$个排球都在同一个箱子里．此时将$5$个篮球补$3$个“虚拟篮球”，然后在两个没有排球的箱子里各预置$1$个篮球，用隔板法完成篮球数目的分配，最后将每个箱子中的篮球数目都减去$1$(扣除“虚拟篮球”)，这样就得到了

$${\rm C}_3^1\cdot {\rm C}_{8-2-1}^2=30$$ 种不同的装法总数．

第二类，$4$个排球装在两个箱子里(不在同一个箱子里)．此时先用隔板法完成排球的分配．接下来将$5$个篮球补$3$个“虚拟篮球”，然后在那个没有排球的箱子里预置$1$个篮球，用隔板法完成篮球数目的分配，最后将每个箱子中的篮球数目都减去$1$(扣除“虚拟篮球”)，这样就得到了

$${\rm C}_3^2\cdot {\rm C}_3^1 \cdot {\rm C}_{8-1-1}^2=135$$ 种不同的装法总数．

第三类，$4$个排球分布在三个箱子里．此时用隔板法分别完成排球和篮球的分配．这样就得到了

$${\rm C}_3^2 \cdot {\rm C}_{8-1}^2=63$$ 种不同的装法总数．

因此总共有

$$30+135+63=228$$ 种不同的装法总数．

反面解法（兰琦）

利用容斥原理，结合隔板法，所求装法总数为

$${\rm C}_6^2{\rm C}_7^2-{\rm C}_3^1{\rm C}_5^1{\rm C}_6^1+{\rm C}_3^2{\rm C}_4^0{\rm C}_5^0=228.$$