每日一题[360]长方体中的四面体

如图，四面体$OABC$的三条棱$OA,OB,OC$两两垂直，$OA=OB=2$，$OC=3$，$D$为四面体$OABC$外一点．给出下列命题：

①不存在点$D$，使四面体$ABCD$有三个面是直角三角形；

②不存在点$D$，使四面体$ABCD$是正三棱锥；

③存在点$D$，使$CD$与$AB$垂直并且相等；

④存在无数个点$D$，使$O$在四面体$ABCD$的外接球面上．

其中真命题的序号是_____．

正确答案是③④．

解　先考虑①，因为点$O$满足条件，作$O$点关于平面$ABC$的对称点$D$，则$D$满足要求，且点$D$在四面体外，①错误；事实上，对于任何一个锐角三角形，都可以找到一个长方体，使得这个锐角三角形的三边长与长方体的三条面对角线长对应相等（为什么？），从而可以构造出一个四面体，顶点处的三条侧棱两两垂直，且底面为该锐角三角形．

再考虑②，因为$\triangle ABC$是等腰三角形，腰长$\sqrt{13}$，底边长为$2\sqrt{2}$，所以直接构造一个正三棱锥，使得它的侧棱长$\sqrt{13}$，底面边长为$2\sqrt 2$即可，故②错误，事实上，只有当等腰三角形的腰长比上底边长小于等于$\dfrac{\sqrt 3}{3}$时，才找不到正三棱锥，其它时候都可以．

对于③④，我们熟知正四面体的问题一般都放入正方体中处理，这个四面体中三条棱两两垂直，所以可以放入长方体中处理，如下图：

上底面的对角线$CD$就满足：$CD\perp AB$，且$CD=AB$，故③正确，这样的点$D$有无穷多个，过点$C$作$AB$的垂面（即平面$OCD$），在平面内以$C$为圆心、$AB$为半径作圆，则圆在四面体$OABC$外面的部分对应的点都满足要求．

作长方体的外接球，也是四面体的外接球，在球面上任取一点$D$，则点$O$一定在四面体$ABCD$的外接球面上，这样的$D$有无穷多个，④正确．

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