每日一题[359]三进制

已知集合$A=\{x|x=a_0+a_1\times 3+a_2\times 3^2+a_3\times 3^3\}$，其中$a_k\in\{0,1,2\}$，$k=0,1,2,3$，且$a_3\ne 0$．则$A$中所有元素之和等于____．

正确答案是$2889$．

解　我们很熟悉十进制的数，比如 $$134=1\times 10^2+3\times 10+4,$$ 也就是逢十进一，如果将其中$10$的幂次算成$p,p\in\mathcal{N}^*,p>1$，仍然可以表示出所有的正整数，就是$p$进制的数．比如$134$可以写成 $$134=1\times 3^4+1\times 3^3+2\times 3^2+2\times 3+2,$$ 于是$134=(11222)_3$．现在我们先来看看$A$中的元素都有哪些，集合$A$中的元素用三进制表示即$(a_3a_2a_1a_0)_3$，因为$a_3\ne 0$，所以最小的元素为$(1000)_3=3^3=27$，最大的元素为$(2222)_3=3^4-1=80$．所以集合$A=\{27,28,29,\cdots,80\}$，从而所有元素之和为 $$\dfrac {27+80}{2}\times (80-27+1)=2889.$$ 看清集合$A$的本质就避免了直接去分类计数，事实上，即使不了解三进制，从元素的形式来看，我们也能发现，集合$A$中的元素是连续的正整数，求出其中最大的数与最小数即可求和．

最后给出一道练习：

已知集合$A=\{x|x=a_0+a_1\times 2+a_2\times 2^2+a_3\times 2^3\}$，其中$a_k\in\{0,1\}$，$k=0,1,2,3$，且$a_3\ne 0$．则$A$中所有元素之和等于____．

答案　$92$．

更多相关内容见每日一题[278]二进制．