已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33},其中ak∈{0,1,2},k=0,1,2,3,且a3≠0.则A中所有元素之和等于____.
正确答案是2889.
解 我们很熟悉十进制的数,比如134=1×102+3×10+4,
也就是逢十进一,如果将其中10的幂次算成p,p∈N∗,p>1,仍然可以表示出所有的正整数,就是p进制的数.比如134可以写成134=1×34+1×33+2×32+2×3+2,
于是134=(11222)3.现在我们先来看看A中的元素都有哪些,集合A中的元素用三进制表示即(a3a2a1a0)3,因为a3≠0,所以最小的元素为(1000)3=33=27,最大的元素为(2222)3=34−1=80.所以集合A={27,28,29,⋯,80},从而所有元素之和为27+802×(80−27+1)=2889.
看清集合A的本质就避免了直接去分类计数,事实上,即使不了解三进制,从元素的形式来看,我们也能发现,集合A中的元素是连续的正整数,求出其中最大的数与最小数即可求和.
最后给出一道练习:
已知集合A={x|x=a0+a1×2+a2×22+a3×23},其中ak∈{0,1},k=0,1,2,3,且a3≠0.则A中所有元素之和等于____.
答案 92.
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