每日一题[354]新定义数列

若数列$\{a_n\}$满足：对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，只有有限个正整数$m$使得$a_m<n$成立，记这样的$m$的个数为$(a_n)^*$，则得到一个新数列$\left\{(a_n)^*\right \}$．例如，若数列$\{a_n\}$是$1,2,3,\cdots,n,\cdots$，则数列的$\{(a_n)^*\}$是$0,1,2,\cdots,n-1,\cdots$．已知对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，$a_n=n^2$，则$(a_5)^*=$_____，$\big((a_n)^*\big)^*=$_____．

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正确答案是$2$，$n^2$．

解　本题的关键是理解$(a_n)^*$的含义，数列$\{(a_n)^*\}$中的第$k$项$(a_k)^*$为$\{a_n\}$中在区间$(-\infty,k)$中的项数．所以$\{(a_n)^*\}$为

$$0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,\cdots.$$ 在这个数列中，值为$k$的项共有$(k+1)^2-k^2$个．从而数列$\left\{\big((a_n)^*\big)^*\right \}$的第$n$项$\big((a_n)^*\big)^*$即数列$\{(a_n)^*\}$中小于$n$的项的项数，为 $$(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+\cdots+\left[n^2-(n-1)^2\right]=n^2.$$ 本题的难点在于定义的抽象，把数列多写几项，将抽象的定义用具体的数值来感受，会有助于我们对抽象问题的理解，从而有助于问题的解决．

注　本题为2010年高考数学湖南卷的第15题（填空压轴题）．

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下面给出一道练习．

若数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=2n$，则$(b_5)^*=$_____，$\big((b_n)^*\big)^*=$_____．

答案　$2$,$2n$．