每日一题[369]“四角星”区域

编者按　本文作者Brook，由meiyun编辑整理．

平面内定义“区域$X$”为满足条件$P$的所有线段所在的区域．如：平面直角坐标系中，若条件$P$为“线段的一端在原点，另一端距离原点不超过$1$个单位”，则其对应的“区域$X$”为满足$x^2+y^2\leqslant 1$的区域．

若平面内有夹角成$60^\circ$的两条直线$l_{OA}$与$l_{OB}$，且两直线交于$O$，$C,D$分别为$l_{OA}$与$l_{OB}$上的点，并满足条件$P$：$|OC|\cdot |OD|=4$，$E$为线段$CD$的中点，记所有线段$CD$所在区域为“区域$X$”．试判断：

①$I$为$\angle AOB$的角平分线上一点，且$|OI|=2$，以$I$为圆心，$2-\sqrt 3$为半径作圆，则该圆上的点均不在“区域$X$”内；

②$E$在“区域$X$”内，且$|OE|_{\min}=\sqrt 3$；

③过$E$作$EM\perp OA$于$M$，$EN\perp OB$于点$N$，记$\triangle MNE$的面积为$S_1$，过$E$作$EF\parallel l_{OA}$交$l_{OB}$于$F$，$EG\parallel l_{OB}$交$l_{OA}$于$G$，记$\triangle OFG$的面积为$S_2$，则$S_1\leqslant S_2$恒成立；

④存在有限条直线$l$，使得整条$l$在“区域$X$"内．

其中正确的有_____．

正确答案是③．

解　我们知道，如果$C,D$在两条互相垂直的直线（不妨设在$x$轴与$y$轴）上运动，且有$|OC|\cdot |OD|=4$，则它们的中点$E$的轨迹为两对双曲线$xy=\pm 1.$而线段所在的区域为以这两对双曲线为边界的“四角星”区域，但不包含原点，如图：

现在两条互相垂直的直线变成了夹角为$60^\circ$的两条直线，我们猜测点$E$的轨迹仍然为两条双曲线，下面给出严格推导：

以$l_{OA},l_{OB}$的两条角平分线为坐标轴建立直角坐标系，使得$\angle xOA=\angle xOB=30^\circ$，先考虑点$C$、$D$分别在第一、四象限时点$E$的轨迹：

设$|OC|=r$，则$|OD|=\dfrac {4}{r}$，于是 $$C\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}r,\dfrac 12 r\right ),D\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\cdot \dfrac{4}{r},-\dfrac 12\cdot\dfrac{4}{r}\right ),$$ 从而它们的中点$E$的坐标为 $$E\left(\sqrt{3}\left(\dfrac r4+\dfrac 1r\right ),\dfrac r4-\dfrac 1r\right).$$ 于是$E$点的坐标$(x,y)$满足 $$\left(\dfrac{x}{\sqrt 3}\right)^2-y^2=1.$$ 其实上，当$r$变成$-r$时，$C$、$D$在第二、四象限，中点$E$也满足上面的方程，从而点$E$的轨迹的一部分为双曲线 $$\dfrac{x^2}{3}-y^2=1.$$ 另外，当点$C$、$D$分别在第一、二象限或第三、四象限时，点$E$的轨迹为另一组双曲线： $$\dfrac{x^2}{3}-y^2=-1.$$ 如下图：

易知，“区域$X$”为这两组双曲线所夹的“四角形”区域，除去原点．下面我们来判断四个命题的真假：

对于①，$I$可能在$x$轴上，也可能在$y$轴上，当$I$在$x$轴上时，圆上恰有一个点$(\sqrt 3,0)$在区域$X$内，①错误；

对于②，当$E$的轨迹为焦点在$y$轴上的双曲线时，所以$|OE|_{\min}=1$，②错误；

对于③，因为$S_1=\dfrac 12|ME|\cdot|NE|\sin 120^\circ$，$S_2=S_{\triangle GEF}=\dfrac 12|GE|\cdot|GF|\sin60^\circ$，所以有$S_2>S_1$，③正确，如图：

对于④，因为原点不在区域$X$内，所以不存在这样的直线．

事实上，在这个问题中，直线$CD$与$E$点的轨迹形成的双曲线始终相切（利用双曲线的“垂径定理”可以得到一个比较简单的证明），切点为$E$，所以本题同时给出了双曲线的一条重要性质：过双曲线上任意一点$E$作双曲线在该点的切线，这条切线与双曲线的渐近线相交于点$C,D$，则切点$E$恰为线段$CD$的中点，且双曲线的中心$O$与这两个交点的距离$|OC|\cdot|OE|$为定值（当双曲线为标准双曲线时，此定值为$a^2+b^2$）．