每日一题[342]探索存在性

若椭圆或双曲线上存在点$P$，使得点$P$到两个焦点的距离之比为$2:1$，则称此椭圆或双曲线存在“$K$点”，下列曲线中存在“$K$点”的是（　　）

A．$\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{15}=1$

B．$\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{24}=1$

C．${x^2}-\dfrac {y^2}{15}=1$

D．${x^2}- {y^2}=1$

---

正确答案是 D．

解　我们需要将“点$P$到两个焦点的距离之比为$2:1$”这一信息进行转化．

方案一　到两个定点的距离之比为$2:1$的点的轨迹为圆，因此原问题就是椭圆（或双曲线）与两个圆是否存在公共点的问题．事实上，圆的方程并不简单，暂时不考虑这个方案．

方案二　考虑椭圆（或双曲线）上的点到两个焦点的距离之比的取值范围．为了方便起见，考虑较大的比上较小的．

对于椭圆来说，这个比值的最小值为$1$，因为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为定值，所以这个比值的最大值只需要考虑椭圆上一点到焦点的最大距离，显然为$a+c$，于是比值的范围为

$$\left[1,\dfrac {a+c}{a-c}\right ].$$ 对于双曲线来说，设双曲线上的点到较近焦点的距离为$m$，则这个比值为$\dfrac {2a+m}{m}=\dfrac {2a}{m}+1$，因为$m\in[c-a,+\infty)$，所以比值的取值范围为 $$\left(1,\dfrac {c+a}{c-a}\right ].$$ 各个选项在这个比值上的取值范围分别为 $$\left[1,\dfrac 53\right]，\left[1,\dfrac 32\right ],\left(1,\dfrac 53\right ],\left(1,\dfrac {\sqrt 2+1}{\sqrt 2-1}\right ],$$ 由此判断只有选项 D 满足要求．

方案三　由点$P$到两个焦点的距离之比为$2:1$计算出点$P$对应的焦半径，再根据焦半径的范围去估计椭圆或双曲线的离心率．

对于椭圆，由点$P$到两个焦点的距离之比为$2:1$知焦半径分别为$\dfrac {4a}{3}$与$\dfrac {2a}{3}$．而椭圆的焦半径的取值范围为$[a-c,a+c]$，所以有$\dfrac 23a\geqslant a-c$，解得$e\geqslant \dfrac 13$．

类似地考虑双曲线，可得$e\leqslant 3$．而各选项的离心率分别为

$$\dfrac 14,\dfrac 15,4,\sqrt 2,$$ 故只有选项 D 符合要求．

满足某种条件的点$P$是否存在反应了椭圆或双曲线的某种性质，去直接探索这种性质说明了什么，而不是直接对选项进行分别计算，是解决这类问题的关键．同时，探索性质可能有多个不同的方案，结合问题本身选择合适的方案，也能有效地减少计算，看清问题本质．