每日一题[56] 向量问题的图解法

今天的题目是2012年安徽高考数学理科卷的填空题.

|2ab|,则\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b的最小值是_______.


cover 正确的答案是-\dfrac 98

原问题等价于

\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant 3,求\dfrac 12\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b的最小值.

QQ20150310-2

如图,设\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b,那么\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b - \overrightarrow a.根据题意,\overrightarrow{AB}的长度不超过3,于是B的可行域为以A为圆心、3为半径的圆的内部(包含边界).

根据数量积的几何意义,使得\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b取最小值的B位置为圆内(包括边界)的点在直线OA上的投影最靠左的位置.此时可得\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=OA\cdot\left(OA-3\right)\geqslant -\dfrac 94,等号当且仅当OA=\dfrac 32时取得,此时对应的向量如下图所示.

QQ20150310-3

下面给出一道练习题:

已知\vec a\vec b满足\left|\vec a\right|=5\left|\vec b\right|\leqslant 1,且\left|\vec a-4\vec b\right|\leqslant \sqrt{21},则\vec a\cdot \vec b的最小值是_______.

参考答案    \dfrac{25-5\sqrt{21}}{4}

提示    B的可行域为两个圆及其内部的公共部分.

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每日一题[56] 向量问题的图解法》有5条回应

  1. LCH说:

    还有练习题,是不是应该再乘5才是答案?

  2. 看门狗说:

    C神忘记1/2了

  3. lch说:

    答案应该是-9/8吧?最后一步要除以2

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