在平面直角坐标系中,点集$A=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 1\}$,$B=\{(x,y)|x\leqslant 4,y\geqslant 0,3x-4y\geqslant 0\}$,则
(1)点集$P=\{(x,y)|x=x_1+3,y=y_1+1,(x_1,y_1)\in A\}$所表示的平面区域的面积为____;
(2)点集$Q=\{(x,y)|x=x_1+x_2,y=y_1+y_2,(x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$所表示的平面区域的面积为____.
正确答案是(1)$\pi$;(2)$18+\pi$.
解 (1)从点$M(x,y)$得到点 $M'(x+3,y+1)$相当于将点$M$向右平移$3$个单位,再向上平移$1$个单位.
根据点集$P$的定义知,点集$P$就是将点集$A$中的任意一个点向右平移$3$个单位,再向上平移$1$个单位得到的,所以直接将点集$A$表示的平面区域作这样的平移就能得到点集$P$.
点集$A$是以原点为圆心的单位圆,所以点集$P$就是以$(3,1)$为圆心,半径为$1$的圆,面积为$\pi$,如图:
(2)在点集$Q$中,横坐标是由两个变化的数共同决定的,纵坐标也是由两个变化的数共同决定的,受(1)的启发,可以先取定一点$M(x_2,y_2)\in B$,让$(x_1,y_1)\in A$变化,由此得到的平面区域是点集$Q$的一部分,再让$M(x_2,y_2)$在区域$B$中运动起来,就可以得到整个点集$Q$表示的区域.
由(1)知,取定$M(x_2,y_2)\in B$时,得到的点集是以$M$为圆心,以$1$为半径的圆.当$M$在区域$B$中运动起来,这些单位圆(及其内部)运动扫过的区域就是所求的平面区域.$B$是如下的三角形$OPQ$及其内部构成的区域,其中$P(4,3),Q(4,0)$,只需考虑$M$在边界三角形$OPQ$上的运动即可,得到的边界及其内部就是$Q$表示的平面区域,如图:
容易计算所求面积为$18+\pi$.
在动态问题中,先固定一个变元,让另一个变元动起来,得到一个中间状态,再让固定的变元动起来,是常见的处理思路.
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