每日一题[315]糖水不等式

 $b$克糖水中含有$a$克糖，糖的质量与糖水的质量比为$\dfrac ab$，这个质量比决定了糖水的甜度．如果再添加$m$克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为

$$\dfrac {a+m}{b+m}>\dfrac ab,$$ 称为糖水不等式，其中$b>a>0,m>0$．这个不等式作差很容易证明，在这里略去．利用糖水不等式可以证明高中的一类形如 $$\prod_{i=1}^{n}a_i>f(n)$$ 的不等式问题．

求证：$\left(1-\dfrac 12\right )\left(1-\dfrac 14\right )\left(1-\dfrac 16\right )\cdots\left(1-\dfrac {1}{2n}\right )<\sqrt{\dfrac {1}{2n+1}}$．

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证明　记不等式左边为$I_n$，有

$$I_n=\dfrac 12\cdot\dfrac 34\cdot \dfrac 56\cdots\dfrac{2n-1}{2n},$$ 由糖水不等式知 $$\dfrac {k}{k+1}<\dfrac {k+1}{k+2},k=1,2,\cdots,2n-1.$$ 于是有 $$I_n<\dfrac 23\cdot\dfrac 45\cdot \dfrac 67\cdots\dfrac{2n}{2n+1}.$$ 上式两边同乘$I_n$得 $$\begin{split} I_n^2&<\left(\dfrac 12\cdot\dfrac 34\cdot\dfrac 56\cdots\dfrac{2n-1}{2n}\right )\cdot\left(\dfrac 23\cdot \dfrac 45\cdot \dfrac 67\cdots\dfrac{2n}{2n+1}\right )\\&=\dfrac {1}{2n+1}.\end{split}$$ 不等式得证．

注　本题为2009年广东高考数学理科第21题中的一问．

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糖水不等式在概率中也有直观的体现，比如下面的问题：

一只口袋里装有$3$个红球和$7$个白球．

（1）从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少？

（2）再向口袋里放入两个红球，则从口袋里任意摸出一个球，恰好是红球的概率是变大还是变小，说明理由．

第（1）问摸出红球的概率$P_1=\dfrac {3}{10}$；

第（2）问摸出红球的概率

$$P_2=\dfrac {5}{12}=\dfrac {3+2}{10+2}>\dfrac {3}{10}.$$ 说明加入两个红球后概率增大了．我们将袋子里的球看成糖水，红球相当于糖，这个结论就体现了糖水不等式．

对糖水不等式作进一步的思考：

（3）如果向口袋中加入的是一个红球和一个白球，那么取出红球的概率有什么样的变化？

（4）如果加入的是一个红球和两个白球，取出红球的概率又如何变化呢？

这两个问题相当于将一种新的糖水，而不是纯糖加入原来的糖水中，问原来的糖水是变甜还是变淡．从生活角度理解，如果加入的糖水浓度比原来的糖水浓度大，则加入后糖水变甜；反之，加入后糖水变淡．在上面的问题中，原来“糖水”（即红球）的浓度为$\dfrac {3}{10}$，第（3）问加入的“糖水”浓度为$\dfrac 12$，由

$$\dfrac {1}{2}>\dfrac {3}{10}$$ 知取出红球的概率增大； 第（4）问中，加入的“糖水”浓度为$\dfrac 13$，因为 $$\dfrac {1}{3}>\dfrac {3}{10},$$ 所以取出红球的概率也增加了．

一般地，我们可以得到拓展的糖水不等式： 若$b>a>0,n>0,m>0$，则当

$$\dfrac nm>\dfrac ab$$ 时，有 $$\dfrac {a+n}{b+m}>\dfrac  ab,$$ 反之，当 $$\dfrac nm<\dfrac ab$$ 时，有 $$\dfrac {a+n}{b+m}<\dfrac  ab.$$ 最后给出一道练习．

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求证：$\left(1+1\right )\left(1+\dfrac 14\right )\left(1+\dfrac 17\right )\cdots\left(1+\dfrac {1}{3n-2}\right )>\sqrt[3]{3n+1}$．

提示　运用两次糖水不等式即可．