每日一题[51] 划清界限得范围

今天的题目是2015年北京市东城区高三期末理科数学选择题的最后一题．

已知圆$C:x^2+y^2=2$，直线$l:x+2y-4=0$，点$P\left(x_0,y_0\right)$在直线$l$上．若存在圆$C$上的点$Q$，使得$\angle OPQ=45^\circ$（$O$为坐标原点），则$x_0$的取值范围是（        ）

A．$[0,1]$

B．$\left[0,\dfrac 85\right]$

C．$\left[-\dfrac 12,1\right]$

D．$\left[-\dfrac 12,\dfrac 85\right]$

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 正确答案是B．

首先寻找对圆的视角等于$90^\circ$的点的轨迹，显然这是一个封闭曲线（事实上这个封闭曲线是圆，半径为$2$，想一想为什么？）．那么在圆内部的点对圆的视角均大于$90^\circ$，也即使得$\angle OPQ=45^\circ$的点；同时在圆外部的点对圆的视角均小于$90^\circ$，一定不可能使得$\angle OPQ=45^\circ$．

由此分析不难得出，所求点$P$的取值集合为直线$l:x+2y-4=0$被圆$x^2+y^2=4$所截得的线段$P_1P_2$．

设$P\left(x_0,\dfrac 12\left(4-x_0\right)\right)$，则

$$x_0^2+\frac 14\left(4-x_0\right)^2=4,$$ 解得 $$x_0=0\lor x_0=\frac 85.$$