每日一题[306] 巧引参妙转化

这是一道条件最值问题:

已知a,b>0,且1a+1b=23,求1a1+4b1的最小值.


cover

正确答案是74

   我们知道柯西不等式有一种重要变形:b21a1+b22a2++b2nan(b1+b2++bn)2a1+a2++an,

其中ai,bi>0i=1,2,,n),等号取得的条件是b1a1=b2a2==bnan.

这一变形是利用柯西不等式处理包含分式的代数不等式的重要变形.

在本题中,可以尝试利用柯西不等式将分式1a1设法向1a转化,如1a1+114a.

为了使得我们可以控制取等条件,可以引入参数1a1+λ21(1+λ)2a,
其中λ>0.为了可以使用已知条件,处理4b1,有4b1+(λ1)21(1+λ)2b,
其中λ>1,两式相加可得1a1+4b17443(λ54)2.

接下来通过取等条件确定参数λ的值,即{1a1=λ,2b1=λ1,1a+1b=23,

解得λ=54,a=95,b=9,
于是所求的最小值为7443(λ54)2=74.


最后把题目改一下留给读者做练习.

已知a,b>0,且1a+1b=2,求1a+1+4b+1的最大值.

答案是114

提示    如下引入参数1a+λ21(1+λ)2a+1,1b+(2λ+1)21(2+2λ)2b+1,

最后解得λ=13,a=3,b=35.

 这个问题也可以通过将一个参数用另一个参数表示,代入后转化为求分式函数的最值.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复