每日一题[306] 巧引参妙转化

这是一道条件最值问题：

已知$a,b>0$，且$\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23$，求$\dfrac 1{a-1}+\dfrac 4{b-1}$的最小值．

正确答案是$\dfrac 74$．

解    我们知道柯西不等式有一种重要变形： $$\dfrac{b_1^2}{a_1}+\dfrac{b_2^2}{a_2}+\cdots+\dfrac{b_n^2}{a_n} \geqslant \dfrac{\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n},$$ 其中$a_i,b_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），等号取得的条件是 $$\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\cdots=\dfrac{b_n}{a_n}.$$

这一变形是利用柯西不等式处理包含分式的代数不等式的重要变形．

在本题中，可以尝试利用柯西不等式将分式$\dfrac{1}{a-1}$设法向$\dfrac{1}{a}$转化，如 $$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 11\geqslant \dfrac 4a.$$ 为了使得我们可以控制取等条件，可以引入参数 $$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{\lambda^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{a},$$ 其中$\lambda>0$．为了可以使用已知条件，处理$\dfrac{4}{b-1}$，有 $$\dfrac{4}{b-1}+\dfrac{(\lambda -1)^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{b},$$ 其中$\lambda>1$，两式相加可得 $$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 4{b-1}\geqslant \dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2.$$

接下来通过取等条件确定参数$\lambda$的值，即 $$\begin{cases} \dfrac{1}{a-1}=\lambda,\\\dfrac{2}{b-1}=\lambda -1,\\ \dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23,\end{cases}$$ 解得 $$\lambda =\dfrac 54,a=\dfrac 95,b=9,$$ 于是所求的最小值为 $$\dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2=\dfrac 74.$$

最后把题目改一下留给读者做练习．

已知$a,b>0$，且$\dfrac 1a+\dfrac 1b=2$，求$\dfrac 1{a+1}+\dfrac 4{b+1}$的最大值．

答案是$\dfrac{11}4$．

提示    如下引入参数 $$\dfrac 1a+\dfrac{\lambda^2}{1}\geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{a+1},\\\dfrac 1b+\dfrac{(2\lambda +1)^2}{1}\geqslant \dfrac{(2+2\lambda)^2}{b+1},$$ 最后解得 $$\lambda  =\dfrac 13,a=3,b=\dfrac 35.$$

注　这个问题也可以通过将一个参数用另一个参数表示，代入后转化为求分式函数的最值．