这是一道条件最值问题:
已知a,b>0,且1a+1b=23,求1a−1+4b−1的最小值.
正确答案是74.
解 我们知道柯西不等式有一种重要变形:b21a1+b22a2+⋯+b2nan⩾(b1+b2+⋯+bn)2a1+a2+⋯+an,
其中ai,bi>0(i=1,2,⋯,n),等号取得的条件是b1a1=b2a2=⋯=bnan.
这一变形是利用柯西不等式处理包含分式的代数不等式的重要变形.
在本题中,可以尝试利用柯西不等式将分式1a−1设法向1a转化,如1a−1+11⩾4a.
为了使得我们可以控制取等条件,可以引入参数1a−1+λ21⩾(1+λ)2a,
其中λ>0.为了可以使用已知条件,处理4b−1,有4b−1+(λ−1)21⩾(1+λ)2b,
其中λ>1,两式相加可得1a−1+4b−1⩾74−43(λ−54)2.
接下来通过取等条件确定参数λ的值,即{1a−1=λ,2b−1=λ−1,1a+1b=23,
解得λ=54,a=95,b=9,
于是所求的最小值为74−43(λ−54)2=74.
最后把题目改一下留给读者做练习.
已知a,b>0,且1a+1b=2,求1a+1+4b+1的最大值.
答案是114.
提示 如下引入参数1a+λ21⩾(1+λ)2a+1,1b+(2λ+1)21⩾(2+2λ)2b+1,
最后解得λ=13,a=3,b=35.
注 这个问题也可以通过将一个参数用另一个参数表示,代入后转化为求分式函数的最值.