每日一题[308] 山重水复疑无路,似曾相识燕归来

前几天,有人问了我这样一道题:

card(P)表示集合P中元素的个数.现有集合S={12,13,,1100},集合T={AS|card(A)=2k,kN}

(1)card(T)=_____;

(2)对任意AiT,将Ai中所有的元素相乘,乘积记为mi,再将所有的mi相加,其和记为M,则M=_______.


QQ20151118-7

正确答案是(1)2981;(2)4851200

本题的第(1)小题容易,答案是C299+C499++C9899=2981,

但是第(2)小题却有一定的难度,如何解决呢?如果思路不得当,可就山重水复疑无路了……

“从数集中任意选取若干个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这样的条件似曾相识啊……这可是高考中屡见不鲜的条件,比如2013年北京市朝阳区高三二模填空的最后一题:

数列{2n1}的前n1,3,7,,2n1组成集合An={1,3,7,,2n1}(nN),从集合An中任取kk=1,2,,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记Sn=T1+T2++Tn.例如当n=1时,A1={1}T1=1S1=1;当n=2时,A2={13}T1=1+3T2=1×3S2=1+3+1×3=7.则当n=3时,S3=_______;试写出Sn=_______.

此题的第一个空应该填63,读懂题意算一算即可.第二个空可以用不完全归纳的方法得出结果应该是2n(n+1)21.可是,不完全归纳,总让人觉得差点意思……有没有更加给力的方法呢?

当然有!

考察(1+1)(1+3)(1+7)(1+(2n1))1,

根据乘法法则,此式即为第二个空的答案.是不是很给力?这一招是处理“从数集中任意选取若干个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这类条件的利器,大家一定要学会.

现在我们回到原题,假如这道题求的是集合S的每个子集中元素乘积的总和,那就好办了,答案是(1+12)(1+13)(1+1100)1=992.

可是现在咱们要求的是集合S的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,刚才这招并不能立即见效……山重水复疑无路again……真想掐死命题人有木有!

好吧,再想想,以前有没有解决过类似的问题?必须有啊!比如说,第(1)小题那个结论怎么证明的?!怎么证明的?!似曾相识燕归来again有木有,有木有!

C0n+C2n+C4n+的值(我们规定Cmn=0,若m,nN,且m>n).

   记C0n+C2n+C4n+=A,C1n+C3n+C5n+=B,

在二项展开式(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2++Cnnxn
中,取x=1,可得A+B=2n,
x=1,可得AB=0,
A=2n1

利用具有对偶性的两个代数式,从而解决问题.是不是很给力?

好啦,现在到了图穷匕见的时候,原题第(2)小题,你完蛋了!

M为集合S的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,记N为集合S的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和,则M+N=(1+12)(1+13)(1+1100)1=992,

MN=(112)(113)(11100)1=99100,
所以M=4851200.

好啦,这题解决了,可以愉快的去玩耍啦!

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