前几天,有人问了我这样一道题:
用card(P)表示集合P中元素的个数.现有集合S={12,13,⋯,1100},集合T={A⊆S|card(A)=2k,k∈N∗}.
(1)card(T)=_____;
(2)对任意Ai∈T,将Ai中所有的元素相乘,乘积记为mi,再将所有的mi相加,其和记为M,则M=_______.
正确答案是(1)298−1;(2)4851200.
本题的第(1)小题容易,答案是C299+C499+⋯+C9899=298−1,
“从数集中任意选取若干个数相乘,再将所有可能的乘积相加”这样的条件似曾相识啊……这可是高考中屡见不鲜的条件,比如2013年北京市朝阳区高三二模填空的最后一题:
数列{2n−1}的前n项1,3,7,⋯,2n−1组成集合An={1,3,7,⋯,2n−1}(n∈N∗),从集合An中任取k(k=1,2,⋯,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记Sn=T1+T2+⋯+Tn.例如当n=1时,A1={1},T1=1,S1=1;当n=2时,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7.则当n=3时,S3=_______;试写出Sn=_______.
此题的第一个空应该填63,读懂题意算一算即可.第二个空可以用不完全归纳的方法得出结果应该是2n(n+1)2−1.可是,不完全归纳,总让人觉得差点意思……有没有更加给力的方法呢?
当然有!
考察(1+1)(1+3)(1+7)⋯(1+(2n−1))−1,
现在我们回到原题,假如这道题求的是集合S的每个子集中元素乘积的总和,那就好办了,答案是(1+12)(1+13)⋯(1+1100)−1=992.
好吧,再想想,以前有没有解决过类似的问题?必须有啊!比如说,第(1)小题那个结论怎么证明的?!怎么证明的?!似曾相识燕归来again有木有,有木有!
求C0n+C2n+C4n+⋯的值(我们规定Cmn=0,若m,n∈N∗,且m>n).
解 记C0n+C2n+C4n+⋯=A,C1n+C3n+C5n+⋯=B,
利用具有对偶性的两个代数式,从而解决问题.是不是很给力?
好啦,现在到了图穷匕见的时候,原题第(2)小题,你完蛋了!
记M为集合S的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和,记N为集合S的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和,则M+N=(1+12)(1+13)⋯(1+1100)−1=992,
好啦,这题解决了,可以愉快的去玩耍啦!
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