每日一题[308] 山重水复疑无路，似曾相识燕归来

前几天，有人问了我这样一道题：

用${\rm card}(P)$表示集合$P$中元素的个数．现有集合$S=\left \{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\cdots,\dfrac{1}{100} \right \}$，集合$T=\left\{A\subseteq S \left | \right. {\rm card}(A)=2k,k \in {\mathcal N^*} \right\}$．

（1）${\rm card}(T)=$_____；

（2）对任意$A_i \in T$，将$A_i$中所有的元素相乘，乘积记为$m_i$，再将所有的$m_i$相加，其和记为$M$，则$M=$_______．

正确答案是（1）$2^{98}-1$；（2）$\dfrac{4851}{200}$．

本题的第（1）小题容易，答案是$${\mathrm C}_{99}^{2}+{\mathrm C}_{99}^{4}+\cdots+{\mathrm C}_{99}^{98}=2^{98}-1,$$但是第（2）小题却有一定的难度，如何解决呢？如果思路不得当，可就山重水复疑无路了……

“从数集中任意选取若干个数相乘，再将所有可能的乘积相加”这样的条件似曾相识啊……这可是高考中屡见不鲜的条件，比如2013年北京市朝阳区高三二模填空的最后一题：

数列$\left \{2^n-1 \right \} $的前$n$项$1,3,7,\cdots,2^n-1$组成集合$A_n= \{1,3,7,\cdots,2^n-1 \}(n \in {\mathcal N^*})$，从集合$A_n$中任取$k$（$k=1,2, \cdots ,n$）个数，其所有可能的$k$个数的乘积的和为$T_k$（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记$S_n=T_1+T_2+\cdots+T_n$．例如当$n=1$时，$A_1=\{1\}$，$T_1=1$，$S_1=1$；当$n=2$时，$A_2=\{1，3\}$，$T_1=1+3$，$ T_2=1 \times 3$，$S_2=1+3+1 \times 3=7$．则当$n=3$时，$S_3=$_______；试写出$S_n=$_______．

此题的第一个空应该填$63$，读懂题意算一算即可．第二个空可以用不完全归纳的方法得出结果应该是$2^{\frac {n(n+1)}2}-1$．可是，不完全归纳，总让人觉得差点意思……有没有更加给力的方法呢？

当然有！

考察$$(1+1)(1+3)(1+7)\cdots(1+(2^n-1))-1,$$根据乘法法则，此式即为第二个空的答案．是不是很给力？这一招是处理“从数集中任意选取若干个数相乘，再将所有可能的乘积相加”这类条件的利器，大家一定要学会．

现在我们回到原题，假如这道题求的是集合$S$的每个子集中元素乘积的总和，那就好办了，答案是$$\left(1+\dfrac 1 2 \right)\left(1+\dfrac 1 3\right) \cdots \left(1+\dfrac 1 {100}\right)-1=\dfrac{99}{2}.$$可是现在咱们要求的是集合$S$的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和，刚才这招并不能立即见效……山重水复疑无路again……真想掐死命题人有木有！

好吧，再想想，以前有没有解决过类似的问题？必须有啊！比如说，第（1）小题那个结论怎么证明的？！怎么证明的？！似曾相识燕归来again有木有，有木有！

求${\rm C}_n^0+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^4+\cdots$的值（我们规定${\rm C}_n^m=0$，若$m,n \in {\mathcal N^*}$，且$m>n$）．

解    记$${\rm C}_n^0+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^4+\cdots=A,\\{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^3+{\rm C}_n^5+\cdots=B,$$在二项展开式$$(1+x)^n={\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1 x+{\rm C}_n^2 x^2+\cdots+{\rm C}_n^n x^n$$中，取$x=1$，可得$$A+B=2^n,$$取$x=-1$，可得$$A-B=0,$$故$A=2^{n-1}$．

利用具有对偶性的两个代数式，从而解决问题．是不是很给力？

好啦，现在到了图穷匕见的时候，原题第（2）小题，你完蛋了！

记$M$为集合$S$的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和，记$N$为集合$S$的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和，则$$M+N=\left(1+\dfrac 1 2 \right)\left(1+\dfrac 1 3\right) \cdots \left(1+\dfrac 1 {100}\right)-1=\dfrac{99}2,$$而$$M-N=\left(1-\dfrac 1 2 \right)\left(1-\dfrac 1 3\right) \cdots \left(1-\dfrac 1 {100}\right)-1=-\dfrac{99}{100},$$所以$$M=\dfrac{4851}{200}.$$

好啦，这题解决了，可以愉快的去玩耍啦！