这是我的好朋友凌落蓝提供的一道试题:
已知f(x)=1+lnxx−1,g(x)=kx(k∈N∗).若对任意c>1,均存在a,b满足0<a<b<c,使得f(c)=f(a)=g(b),则k的最大值为_______.
正确的答案是3.
解 先研究函数f(x),其导函数f′(x)=−1+xlnxx(x−1)2,又(1+xlnx)′=1+lnx,于是1+xlnx的最小值为1+1e⋅ln1e>0,因此f(x)在(0,1)和(1,+∞)上分别单调递减.
根据题意,函数g(x)=kx的图象夹在f(x)图象在x<1和x>1的两个部分之间,也即{∀x∈(0,1),kx>1+lnxx−1,∀x∈(1,+∞),kx<1+lnxx−1,即∀x>0∧x≠1,1+lnx>k(x−1)x,也即∀x>0∧x≠1,1+lnx+kx−k>0,设不等式左边函数为h(x),则h(x)的导函数h′(x)=x−kx2,于是当x=k时,h(x)有最小值h(k)=lnk−k+2⩾0,由(lnk−k+2)′k=1k−1⩽0,于是h(k)随着正整数k的增大而减小,不难验证得知k的最大值为3.
从此题中可以看到,处理包含对数函数lnx的问题时,可以考虑先将与lnx相乘的因式消灭(即“清君侧”),从而避免求导后仍然包含对数符号而需要再次求导的问题(即“靖国难”).
注 更多的例题可以参考《每日一题[49] 分离对数函数》.
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