每日一题[307] 清君侧,靖国难

这是我的好朋友凌落蓝提供的一道试题:

已知f(x)=1+lnxx1g(x)=kxkN).若对任意c>1,均存在a,b满足0<a<b<c,使得f(c)=f(a)=g(b),则k的最大值为_______.


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正确的答案是3

   先研究函数f(x),其导函数f(x)=1+xlnxx(x1)2,(1+xlnx)=1+lnx,于是1+xlnx的最小值为1+1eln1e>0,因此f(x)(0,1)(1,+)上分别单调递减.

QQ20151119-0

根据题意,函数g(x)=kx的图象夹在f(x)图象在x<1x>1的两个部分之间,也即{x(0,1),kx>1+lnxx1,x(1,+),kx<1+lnxx1,x>0x1,1+lnx>k(x1)x,也即x>0x1,1+lnx+kxk>0,设不等式左边函数为h(x),则h(x)的导函数h(x)=xkx2,于是当x=k时,h(x)有最小值h(k)=lnkk+20,(lnkk+2)k=1k10,于是h(k)随着正整数k的增大而减小,不难验证得知k的最大值为3

从此题中可以看到,处理包含对数函数lnx的问题时,可以考虑先将与lnx相乘的因式消灭(即“清君侧”),从而避免求导后仍然包含对数符号而需要再次求导的问题(即“靖国难”).

   更多的例题可以参考《每日一题[49] 分离对数函数》

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