每日一题[49] 分离对数函数

2011年高考新课标II卷理科数学第21题（压轴题）：

若不等式

$$\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x>\frac{\ln x}{x-1}+\frac kx$$ 在$x>0$且$x\neq 1$时恒成立，求$k$的取值范围．

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正确答案是$(-\infty,0]$．

我们知道

$$\left(f(x)\cdot\ln x\right)'=f(x)\cdot\frac 1x+f'(x)\cdot\ln x,$$ 这就意味如果$f(x)$不为常函数，那么求导所得的式子一般仍然含有$\ln x$．这往往使得问题需要通过多次求导才能解决．处理这类函数的一个有效方法就是将$\ln x$前的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数．这种技巧形象的解释就是“清君侧，靖国难”，接下来通过今天的问题说明这一技巧．

首先处理不等式，原不等式等价于

$$\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x-\frac{\ln x}{x-1}-\frac kx>0,$$ 整理得 $$-\frac{2}{x^2-1}\cdot\ln x+\frac{1-k}x>0,$$ 提因式，有 $$-\dfrac{1}{x^2-1}\cdot\left[2\ln x+(k-1)\left(x-\frac 1x\right)\right]>0.$$ 设 $$f(x)=2\ln x+(k-1)\cdot\left(x-\frac 1x\right),$$ 则题中不等式等价于 $$\left(\forall x<1, f(x)>0\right)\land(\left(\forall x>1,f(x)<0\right).\qquad\cdots (*)$$ 通过求导研究函数$f(x)$，有 $$f'(x)=\frac 1{x^2}\cdot\left[(k-1)x^2+2x+k-1\right],$$ 注意到$f(1)=0$，而如果二次函数部分有零点，那么零点之积为$1$，于是原题可以转化为 $$\forall x>0\land x\neq 1,(k-1)x^2+2x+k-1\leqslant 0,$$ 分离参数解得$k$的取值范围为$(-\infty,0]$．