2011年高考新课标II卷理科数学第21题（压轴题）：
若不等式\[\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x>\frac{\ln x}{x-1}+\frac kx\]在\(x>0\)且\(x\neq 1\)时恒成立，求\(k\)的取值范围．
正确答案是\((-\infty,0]\)．
我们知道\[\left(f(x)\cdot\ln x\right)'=f(x)\cdot\frac 1x+f'(x)\cdot\ln x,\]这就意味如果\(f(x)\)不为常函数，那么求导所得的式子一般仍然含有\(\ln x\)．这往往使得问题需要通过多次求导才能解决．处理这类函数的一个有效方法就是将\(\ln x\)前的部分提出，然后研究剩余部分对应的函数．这种技巧形象的解释就是“清君侧，靖国难”，接下来通过今天的问题说明这一技巧．
首先处理不等式，原不等式等价于\[\frac{\ln x}{x+1}+\frac 1x-\frac{\ln x}{x-1}-\frac kx>0,\]整理得\[-\frac{2}{x^2-1}\cdot\ln x+\frac{1-k}x>0,\]提因式，有\[-\dfrac{1}{x^2-1}\cdot\left[2\ln x+(k-1)\left(x-\frac 1x\right)\right]>0.\] 设\[f(x)=2\ln x+(k-1)\cdot\left(x-\frac 1x\right),\]则题中不等式等价于\[\left(\forall x<1, f(x)>0\right)\land(\left(\forall x>1,f(x)<0\right).\qquad\cdots (*)\] 通过求导研究函数\(f(x)\)，有\[f'(x)=\frac 1{x^2}\cdot\left[(k-1)x^2+2x+k-1\right],\] 注意到\(f(1)=0\)，而如果二次函数部分有零点，那么零点之积为$1$，于是原题可以转化为\[\forall x>0\land x\neq 1,(k-1)x^2+2x+k-1\leqslant 0,\]分离参数解得\(k\)的取值范围为\((-\infty,0]\)．