每日一题[48] 再论向量题的两面性

2013年高考重庆卷理科数学第10题（选择压轴题）：

在平面上，\(\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}=0\)，\(\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1\)，\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}\)，若\(\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12\)，则\(\left|\overrightarrow{OA}\right|\)的取值范围是________．

正确答案是\(\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]\)．

法一    几何法

设线段\(AP\)的中点为\(M\)，则\(M\)为矩形\(AB_1PB_2\)的中心．

在三角形\(OAP\)中，由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，有\[AP^2+(2OM)^2=2\left(OA^2+OP^2\right),\]从而\[\begin{split}OA^2+OP^2&=2\left(AM^2+OM^2\right)\\&=2\left(B_1M^2+OM^2\right)\\&=2OB_1^2\\&=2,\end{split}\]又\(0\leqslant OP^2<\dfrac 14\)，于是\(OA\)的取值范围是\(\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]\)．

法二    代数法

分别记\(\overrightarrow{OB_1}\)、\(\overrightarrow{OB_2}\)、\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OP}\)分别为\(\vec x\)、\(\vec y\)、\(\vec a\)、\(\vec p\)，则根据题意

条件\(\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{AB_2}\)转化为\[\left(\vec x-\vec a\right)\cdot\left(\vec y-\vec a\right)=0,\]即\[\vec x\cdot\vec y-\vec x\cdot\vec a-\vec y\cdot\vec a=-\vec a\cdot\vec a,\qquad\cdots (1)\]

条件\(\left|\overrightarrow{OB_1}\right|=\left|\overrightarrow{OB_2}\right|=1\)转化为\[\vec x\cdot\vec x=\vec y\cdot\vec y=1,\qquad\cdots (2)\]

条件\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{AB_2}\)转化为\[\vec p-\vec a=\vec x-\vec a+\vec y-\vec a,\]即\[\vec p=\vec x+\vec y-\vec a,\qquad\cdots (3)\]

条件\(\left|\overrightarrow{OP}\right|<\dfrac 12\)转化为\[0\leqslant\vec p\cdot\vec p<\frac 14,\]将(3)代入，有\[0\leqslant\vec x\cdot\vec x+\vec y\cdot\vec y+\vec a\cdot\vec a+2\left(\vec x\cdot\vec y-\vec x\cdot\vec a-\vec y\cdot\vec a\right)<\frac 14,\]再将(1)(2)代入，有\[0\leqslant 2-\vec a\cdot\vec a<\frac 14,\]从而易得\(\left|\vec a\right|\)的取值范围是\(\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]\)．