每日一题[296] 抽样函数

2015年北京市海淀区高三期中理科数学第20题（压轴题）：

已知$x$为实数，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，例如$[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，$[1]=1$．

对于函数$f(x)$，若存在$m\in\mathcal R\land m\notin\mathcal Z$，使得$f(m)=f([m])$，则称函数$f(x)$是$\Omega$函数．

（1）判断函数$f(x)=x^2-\dfrac 13x$，$g(x)=\sin\pi x$是否是$\Omega$函数；（只需写出结论）

（2）设函数$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期函数，其最小正周期是$T$，若$f(x)$不是$\Omega$函数，求$T$的最小值；

（3）若函数$f(x)=x+\dfrac ax$是$\Omega$函数，求$a$的取值范围．

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题中给出了取整函数对单个实数的影响，让我们研究它对函数的影响．事实上．它起到对函数取样的作用．比如，在每天的早上8点钟测量气温作为当天$24$小时的气温，这种做法就可以认为是对气温的变化曲线进行抽样．

在本题中，我们考虑用$k$处的函数值作为区间$[k,k+1)$（$k\in\mathcal{Z}$）上的取样，得到一个函数的抽样函数．例如，正比例函数$f(x)=x$的抽样，如图1：

三次函数$f(x) =\dfrac 14x^3-2x^2+x+8$的抽样，如图2：

$f(x)=\sin x$的抽样，如图3：

根据对抽样的理解，就可以得到$\Omega$函数的判断法则：

如果一个函数和它的抽样函数有除抽样点外的公共点，那么称之为$\Omega$函数．而想要成为$\Omega$函数，那么需要在某个取样周期内完成“调头”（可以借助“最小转弯半径”的概念来理解）．

（1）解    不难发现，一个函数在单调区间上是不可能和它的抽样函数有公共点的．因此对于函数$f(x)=x^2-\dfrac 13x$，只需要考虑其单调性发生改变，即对称轴附近的抽样区间$[0,1)$即可得到结论．

如图4，函数$f(x)=x^2-\dfrac 13x$是$\Omega$函数，因为$f(1/3)=f([1/3])=0$．

对函数$g(x)=\sin \pi x$，虽然有很多单调性发生改变的地方，但是每次“调头”都需要长度为$1$的区间，由于周期的限制，不是$\Omega$函数，如图5．

（2）解    $T$的最小值为$1$，证明如下．

第（1）小题提示我们构造出$T=1$的例子 $$f(x)=\left|\sin{\pi x}\right|,$$ 因此只需要证明当$0<T<1$时，函数$f(x)$必然为$\Omega$函数．事实上，一方面$[T]=0$，于是$f([T])=f(0)$；另一方面函数$f(x)$以$T$为周期，于是$f(T)=f(0)$．因此 $$f([T])=f(T),$$ 函数$f(x)$为$\Omega$函数．

（3）解    从单调性入手分析．

第一种情况，当$a \leqslant 0$时，函数$f(x)$在$(-\infty,0)$与$(0,+\infty)$上分别单调递增．

因为$x$与$[x]$必在同一个单调区间上，所以对任意的$x\in\mathcal R\land x\notin Z\land x\notin (0,1)$，都有$x>[x]$，因此 $$f(x)>f([x]),$$ 函数$f(x)$不是$\Omega$函数．

第二种情况，当$a>0$时，若$\sqrt a$为正整数，那么由于在每个取样区间$[n,n+1)$（$n\in\mathcal Z$）上，函数$f(x)$均为单调函数，因此函数$f(x)$不是$\Omega$函数．

当$\sqrt a$不为正整数时，设$k^2<a<(k+1)^2$（$k\in\mathcal N^*$）．因此只需要也必须在取样区间$[-k-1,-k)$或$[k,k+1)$内完成“调头”（如图5就是在$[-k-1,-k)$上完成“掉头”的例子），也即 $$f(-k)<f(-k-1)\lor f\left(k+1\right)>f\left(k\right) ,$$ 即 $$-k+\dfrac{a}{-k}<-k-1+\dfrac{a}{-k-1}\lor k+1+\dfrac{a}{k+1}>k+\dfrac{a}{k},$$ 也即 $$k+\dfrac{a}{k}\neq k+1+\dfrac{a}{k+1},$$ 整理得 $$a\neq k(k+1),$$ 因此函数$f(x)$当$a\neq k(k+1)$（$k\in\mathcal N^*$）时是$\Omega$函数．

综上，当$a$的取值范围是$\left\{a\left|a\neq n^2\land a\neq n(n+1),a\in\mathcal R^+,n\in\mathcal N^*\right.\right\}$．

第二种情况的另法

当$a>0$时，考虑$x\in\mathcal R\land x\notin Z\land x\notin (0,1)$的条件下 $$f(x)=f([x]),$$ 即 $$x+\dfrac ax=[x]+\dfrac a{[x]},$$ 也即 $$x-[x]-\dfrac{a\left(x-[x]\right)}{x\cdot [x]}=0,$$ 两边约去正数$x-[x]$，得 $$a=x\cdot [x].$$

接下来只需要求出$h(x)=x\cdot [x]$，其中$x\in\mathcal R\land x\notin Z$的值域，即为$a$的取值范围．

将$h(x)$的定义域划分成无数形如$(n,n+1)$（$n\in \mathcal Z$）的区间的并，因此只需要求出每一个区间$P_n=(n,n+1)$（$n\in\mathcal Z^*$）对应的函数值取值范围$Q_n$，再求它们的并集就可以得到函数$h(x)$的值域，如图6．

当$x\in P_n$时，我们有$[x]=n$，于是 $$h(x)=x\cdot [x]=nx,$$ 因此 $$Q_n=\begin{cases} \left(n(n+1),n^2\right),&n<0,\\ \left( n^2,n(n+1)\right),&n>0,\end{cases}$$ 于是它们的并，也即$a$的取值范围是 $$\bigcup_{n\in\mathcal Z^*}{Q_n}=\left\{a\left|a\neq n^2\land a\neq n(n+1),a\in\mathcal R^+,n\in\mathcal Z\right.\right\},$$ 即不为整数的平方以及相邻两个整数的乘积的所有正实数．

注　$\mathcal{Z}^*$表示非零整数．