每日一题[291] 对称美学

已知$\{a_n\}$是等差数列，$S_n$为其前$n$项和．若正整数$i,j,k,l$满足$i\leqslant k \leqslant l \leqslant j$，且$i+j=k+l$，则（        ）

A．$a_ia_j\leqslant a_ka_l$

B．$a_ia_j\geqslant a_ka_l$

C．$S_iS_j\leqslant S_kS_l$

D．$S_iS_j\geqslant S_kS_l$

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正确答案是 A．

解    在研究等差数列时，我们一般会选择用对称的方式设项，比如三项的等差数列设为

$$a-d,a,a+d,$$ 四项的等差数列设为 $$a-3d,a-d,a+d,a+3d,$$ 等等．因此可以将角标改设为 $$m-n_1,m-n_2,m+n_2,m+n_1,$$ 其中$n_1\geqslant n_2$．这样原问题就转化为研究 $$f(n)=a_{m+n}\cdot a_{m-n}$$ 和 $$g(n)=S_{m+n}\cdot S_{m-n}$$ 的单调性的问题．

事实上，不妨设$a_n=a+nd$，$S_n=An^2+Bn$，则有

$$\begin{split} a_{m+n}\cdot a_{m-n}&=\left[a+(m+n)d\right]\cdot \left[a+(m-n)d\right]\\&=\left(a+md\right) ^2-n^2d^2,\end{split}$$ 于是由$n_1\geqslant n_2$可得 $$f(n_1)\leqslant f(n_2),$$ 选项 A 正确，选项 B 错误．

而另一方面，

$$\begin{split} S_{m+n}\cdot S_{m-n}&=\left[A(m+n)^2+B(m+n)\right]\cdot\left[A(m-n)^2+B(m-n)\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[A(m+n)+B\right]\cdot\left[A(m-n)+B\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[(Am+B)^2-A^2n^2\right], \end{split}$$ 因此$g(n)$对$n$并不具有一致的单调性，$g(n_1)$与$g(n_2)$的大小关系不定，选项 C、D 错误．

由此题可以看出，研究数列问题时对称的设参对于简化问题有很大的帮助．