每日一题[287] 透视引理

2010年北京市西城区一模理科数学第8题（选择压轴题）：

如图，平面$\alpha$与平面$\beta$垂直，直线$l$为两个平面的交线．$A$、$C$是平面$\alpha$内不同的两点，$B$、$D$是平面$\beta$内不同的两点，且$A,B,C,D\not\in l$，$M$、$N$分别是线段$AB$、$CD$的中点，下列判断正确的是（        ）

A．当$|CD|=2|AB|$时，$M$、$N$两点不可能重合

B．$M$、$N$两点可能重合，但此时直线$AC$与直线$l$不可能相交

C．当$AB$与$CD$相交，直线$AC$平行于$l$时，直线$BD$可以与$l$相交

D．当$AB$、$CD$是异面直线时，$MN$可能与$l$平行

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正确答案是 B．

在正式解决这个问题之前，我们先介绍立体几何中非常重要的透视引理（这是我自己的命名）：

三个平面两两相交，则三条交线或者互相平行，或者交于一点．

引理的证明是非常简单的，甚至不需要画图就可以直接证明：

设三个平面分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$，且$\alpha\cap\beta =c$，$\beta\cap \gamma =a$，$\gamma\cap \alpha=b$．

由于直线$a$与直线$b$共面，于是$a$与$b$或者平行，或者相交，讨论如下．

情形一    $a\parallel b$时

此时

$$\alpha\cap\beta\cap\gamma =\varnothing,$$ 于是同在平面$\alpha$内的直线$b$与直线$c$没有公共点，因此$b\parallel c$．根据平行公理，有 $$a\parallel b\parallel c,$$ 即三条交线互相平行．

情形二    $a\cap b=P$时

此时

$$\alpha\cap\beta\cap\gamma=P,$$ 于是 $$\left(\gamma\cap\alpha\right)\cap \left( \alpha\cap\beta\right) =P,$$ 即$b\cap c=P$，从而 $$a\cap b\cap c=P,$$ 即三条交线交于一点．

综上，引理得证．

回到原问题，依次考虑四个选项．

选项 A，如图1，取与$l$平行的平面，与$\alpha$和$\beta$分别相交，在两条交线上取一条线段$AB$，然后将这条线段绕其中点$M$旋转，那么在旋转过程中必然可以找到长度是起始长度$2$倍的位置，即线段$CD$．因此选项 A 错误．

选项 B，由对选项 A 的分析可知，$M$、$N$可以重合，如图2，若$M$与$N$重合，那么$AB$与$CD$互相平分，因此$ADBC$为平行四边形．对平行四边形所在平面与$\alpha$、$\beta$应用引理即得

$$AC\parallel BD\parallel l,$$ 因此选项 B 正确．

选项 C，若$AB$与$CD$相交，那么它们构成一个平面，对该平面与$\alpha$、$\beta$应用引理即得

$$AC\parallel l\parallel BD,$$ 因此选项 C 错误．

选项 D，如图3，当$MN$与$l$平行时，将线段$AB$沿向量$\overrightarrow {MN}$平移到$A'B'$，则根据对选项 B 的分析，有

$$CA'\parallel B'D\parallel l,$$ 又 $$AA'\parallel BB'\parallel MN\parallel l,$$ 于是在平面$\alpha$内，过$A'$的平行线$CA'$与$AA'$重合，于是$A$在平面$A'CB'D$内，类似的，$B$也在平面$A'CB'D$内，因此$AB$与$CD$共面．

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注一    条件“平面$\alpha$与平面$\beta$垂直”是多余的．

注二    事实上，立体几何作图时是否遵从透视引理直接影响立体感，如图4．