每日一题[286] 向量视角看规划

2014年高考安徽卷理科数学第5题：

已知$x,y$满足约束条件$\begin{cases} x+y-2\leqslant 0,\\x-2y-2 \leqslant 0,\\2x-y+2 \geqslant 0,\end{cases}$若$z=y-ax$取得最大值的最优解不唯一，则实数$a$的值为（        ）

A．$-\dfrac 12$或$-1$

B．$2$或$\dfrac 12$

C．$2$或$1$

D．$2$或$-1$

正确答案是 D．

解    我们一般将目标函数$z=y-ax$化为直线$y=ax+z$，从而将$z$看作直线的截距来解决问题．实际上，在学习了向量数量积的坐标运算后，我们还可以利用向量给出更简明的解决方案．

将目标函数$z=y-ax$，看作向量$(x,y)$与向量$(-a,1)$的数量积．由于向量$(-a,1)$的模为定值，于是数量积的大小取决于可行域内的点在向量$(-a,1)$上的有向投影的大小．

寻找合适的法向量

在本题中，目标函数取得最大值的最优解不唯一，这就意味着向量$(-a,1)$与可行域的某个边界垂直，且该边界上的点的有向投影是最大的．不难确定，符合条件的边界为直线$x+y-2=0$和$2x-y+2=0$，于是它们的纵坐标为$1$的法向量分别为$(1,1)$以及$(-2,1)$．

下面给出两道练习题．

练习1、由点$A(6,2)$，$B(1,1)$，$C(1,5)$围成的三角形为可行域，若目标函数$z=ax+y$取最大值的最优解有无穷多个，则$a$的值为_______．（$\dfrac 35$）

练习2、（2015年东北三校联考）变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases} y\geqslant -1,\\x-y\geqslant 2,\\3x+y\leqslant 14,\end{cases}$若使$z=ax+y$取得最大值的最优解有无穷多个，则实数$a$的取值集合是_______．（$\{-1,3\}$）

注    解题中用到了直线$Ax+By+C=0$的一个法向量为$(A,B)$，这个结论是显然而常用的．