[易错题汇编]（九）立体几何篇

一、点线面的位置关系判断

1．已知$a,b$是不垂直的异面直线，则$a,b$在平面$\alpha$内的射影可能为_____．

①两条平行直线

②两条垂直直线

③同一条直线

④一条直线及其外一点

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答案　①②④

2．已知$a,b$为异面直线，则过$a$与$b$垂直的平面可能有_____．

①$0$个

②$1$个

③超过$1$个的有限个

④无穷多个

答案　①②

3．已知$a,b$为异面直线，$P$是不在$a,b$上的任意一点，下列四个结论中正确的有_____．

①过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都相交

②过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都垂直

③过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都平行

④过$P$一定可作平面$\alpha$与$a,b$都平行

答案　②

4．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥可能是_____．

①斜三棱锥

②不是正四面体的正三棱锥

③正四面体

④三个侧面都是直角三角形的三棱锥

答案　①②③④

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二、空间向量

下列关于空间向量的命题中，正确的有_____．

①若向量$\overrightarrow a,\overrightarrow  b$与空间任意向量都不能构成基底，则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$；

②若非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a\perp\overrightarrow b$，$\overrightarrow b\perp \overrightarrow c$，则有$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$；

③若$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$是空间的一组基底，且$\overrightarrow {OD}=\dfrac 13\overrightarrow {OA}+\dfrac 13\overrightarrow {OB}+\dfrac 13\overrightarrow {OC}$，则$A,B,C,D$四点共面；

④若向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow c+\overrightarrow a$是空间一组基底，则$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$也是空间的一组基底．

答案　①③④．

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三、立体几何相关计算

1．直线$l$与平面$\alpha$所成角的$\dfrac {\pi}{6}$，$l\cap \alpha =A$，$m\subset \alpha$，$A\notin m$，则$m$与$l$所成角的取值范围是_____．

答案　$\left[\dfrac {\pi}{6},\dfrac {\pi}{2}\right ]$．

2．点$A,B$到平面$\alpha$的距离分别为$12,20$，若斜线$AB$与$\alpha$成$30^\circ$角，则$AB$的长等于_____．

答案　$16$或$64$．

3．直二面角$\alpha -l-\beta$的棱$l$上有一点$A$，在平面$\alpha ,\beta$内各有一条射线$AB,AC$与$l$成$45^\circ$，则$\angle BAC=$_____．

答案　$60^\circ$或$120^\circ$．

4．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为$\alpha ,\beta$，则（　　）

A．$\alpha +\beta<90^\circ$

B．$\alpha +\beta\leqslant 90^\circ$

C．$\alpha +\beta>90^\circ$

D．$\alpha +\beta\geqslant 90^\circ$

答案　B

5．（1）与空间四边形$ABCD$四个顶点距离相等的平面共有_____个；

（2）空间四边形中，互相垂直的棱最多有____对；

（3）空间四面体中，是直角三角形的面最多有____个；

（4）异面直线$a,b$所成角为$60^\circ$，过空间一空点$P$作直线$l$与$a,b$所成的角均为$60^\circ$，这样的直线有____条；

答案　（1）$7$；（2）$3$；（3）$4$；（4）$3$．

注意区分空间四边形与空间四面体．