[易错题汇编]（八）平面向量篇

一、概念判断

给出下列命题：

①$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )\cdot\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a\right )=\left|\overrightarrow a\right |^4$；

②$\left(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right )\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow a\cdot\left(\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c\right )$；

③$\left|\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a\right |\cdot\left|\overrightarrow b\right |$；

④若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$，$\overrightarrow b\parallel \overrightarrow c$，则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$；

⑤若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow 0$或$\overrightarrow b=\overrightarrow 0$．

⑥若$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$，则存在唯一的实数$\lambda$，使得$\overrightarrow b=\lambda \overrightarrow a$；

⑦若$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow c=\overrightarrow b\cdot\overrightarrow c$，且$\overrightarrow c\ne \overrightarrow 0$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow b$；

⑧设$\overrightarrow {e_1},\overrightarrow {e_2}$是平面内两个非零的向量，则对于平面内的任意一个向量$\overrightarrow a$，则存在唯一一组实数$x,y$，使得$\overrightarrow a=x\overrightarrow {e_1}+y\overrightarrow {e_2}$；

其中正确命题的序号为_____．

答案　①

---

二、向量运算的几何意义

已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$是平面上两个非零向量，下列说法正确的有_____．

①“$\left|\overrightarrow a\right |=\left|\overrightarrow b\right|$”的充要条件是“$\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right )\perp\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right )$”；

②“$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |$”；

③“$\left|\overrightarrow a\right |+\left|\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |$”的充要条件是“向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相同”；

④“向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相反”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a\right |-\left|\overrightarrow b\right |=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |$”；

⑤已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$为单位向量，它们的夹角记为$\theta$，则“$\theta=120^\circ$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right |=1$”．

⑥已知$\overrightarrow a,\overrightarrow b$为单位向量，它们的夹角记为$\theta$，则“$\theta=60^\circ$”的充要条件是“$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right |=1$”．

答案　①②③

---

三、数量积与坐标的相关计算

（1）已知向量$\overrightarrow a=(1,2)$，向量$\overrightarrow b\perp\overrightarrow a$，且$\left|\overrightarrow a\right |=\left|\overrightarrow b\right |$，则向量$\overrightarrow b$的坐标为_____；

（2）与向量$\overrightarrow a=(3,-4)$平行的单位向量是_____；

（3）若$\overrightarrow a\parallel  \overrightarrow b$，且$\left|\overrightarrow a\right |=2\left|\overrightarrow b\right |=1$，则$\overrightarrow a\cdot\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right )=$_____；

（4）已知向量$\overrightarrow a=(-2,1)$，$\overrightarrow b=(m,-1)$，若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则$m$的取值范围是_____；

（5）已知$\triangle ABC$的三边长为$AB=3$，$BC=4$，$CA=5$，则$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CA}\cdot\overrightarrow {AB}=$_____．

答案　（1）$(2,-1)$或$(-2,1)$；

（2）$\left(\dfrac 35,-\dfrac 45\right )$或$\left(-\dfrac 35,\dfrac 45\right )$；

（3）$\dfrac 12$或$\dfrac 32$；

（4）$\left(-\dfrac 12,2\right )\cup(2,+\infty)$；

（5）$-25$．