[易错题汇编]（七）不等式篇

一、范围与最值

（1）函数$f(x)=\dfrac {x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值为_____；

（2）已知正实数$x,y$满足$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}=4$，则$x+4y$的最小值为_____；

（3）设$\alpha,\beta$是方程$x^2-2kx+k+6=0$的两个实根，则$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$的最小值为_____；

（4）已知$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，且$x+2y=1$，则$2x+3y^2$的最小值为_____；

（5）函数$f(x)=\dfrac {2}{\sin^2 x}+\dfrac {8}{\cos^2 x}$的最小值为_____；

（6）已知$a^2+b^2=2$，$x^2+y^2=4$，则$ax+by$的最大值为_____．

答案　（1）$\dfrac 52$；

（2）$\dfrac 94$；

（3）$8$；

（4）$\dfrac 34$；

（5）$18$；

（6）$2\sqrt 2$．

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二、规划问题

（1）已知$-2<a+b<2$，且$2<a-b<4$，则$2a+3b$的取值范围是_____；

（2）已知函数$f(x)=ax^2+bx$，且$1\leqslant f(-1)\leqslant 2$，$3\leqslant f(1)\leqslant 4$，则$f(-2)$的取值范围是_______；

（3）已知点$P(x,y)$的坐标满足条件 $$\begin{cases} x\leqslant 1,\\y\leqslant 2,\\2x+y-2\geqslant 0,\end{cases}$$ 那么$x^2+y^2$的取值范围是_______．

答案　（1）$(-7,4)$；

（2）$[6,10]$．

（3）$\left[\dfrac 45,5\right ]$．

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三、恒成立问题

（1）若不等式$x^2-{\log_a}x>0$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上恒成立，则实数$a$的取值范围是_____；

（2）若不等式$(-1)^na<2+\dfrac {(-1)^{n+1}}{n}$对于任意$n\in\mathcal{N}^*$均成立，则实数$a$的取值范围是_____．

答案　（1）$\left(0,\dfrac {1}{16}\right]\cup(1,+\infty)$；

（2）$\left[-2,\dfrac 32\right )$．