[易错题汇编]（五）数列篇

一、数列的项与和的关系

1．已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=a^n-1(a\ne 0)$，则数列$\{a_n\}$（　　）

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列或者是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

答案　C．

2．（1）设数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=n^2+2n+1$，$n\in\mathcal{N}^*$，则$a_n=$_____；

（2）若数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=2a_{n+1}$，且$a_1=1$，则$a_n=$_____；

（3）已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，

$$a_n=a_1+\dfrac 12a_2+\dfrac 13a_3+\cdots+\dfrac {1}{n-1}a_{n-1},n\geqslant 2,$$ 则$a_n=$_____．

答案　（1）$a_n=\begin{cases} 4,n=1,\\2n+1,n\geqslant 2.\end{cases}$

（2）$a_n=\begin{cases} 1,n=1,\\\dfrac 12\left(\dfrac 32\right )^{n-2},n\geqslant 2.\end{cases}$

（3）$a_n=\begin{cases} 1,n=1,\\\dfrac n2,n\geqslant 2.\end{cases}$

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二、等差数列与等比数列

3．（1）已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=-3$，且从第$5$项开始是正数，则公差$d$的取值范围是_____；

（2）已知等差数列$\{a_n\},\{b_n\}$的前$n$项和分别为$S_n,T_n$，若$\dfrac {S_n}{T_n}=\dfrac {n+1}{2n+3}$，则$\dfrac {a_3}{b_3}=$_____；$\dfrac {a_3}{b_5}=$_____；

（3）已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_3=-4$，$a_{11}=-1$，则$a_7=$_____；

（4）已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n>0$，且$a_1>0$，则其公比$q$的取值范围是_____；

（5）已知数列$\{a_n\}$是非零等差数列，且$a_1,a_3,a_9$组成一个等比数列的前三项，则$\dfrac {a_1+a_3+a_9}{a_2+a_4+a_{10}}=$_____．

答案　（1）$\left(\dfrac 34,1\right ]$；

（2）$\dfrac {6}{13}$，$\dfrac 27$；

（3）$-2$；

（4）$(-1,0)\cup(0,+\infty)$；

（5）$1$或$\dfrac {13}{16}$．

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三、数列的单调性

4．已知数列$\{a_n\}$单调递增，且$a_n=n^2-\lambda n$，$n\in\mathcal{N}^*$，则$\lambda$的取值范围是_____．

答案　$(-\infty,3)$．