[易错题汇编]（四）导数篇

一、导数的概念与运算

（1）若函数$f(x)=\dfrac 13x^3-f'(-1)x^2+x+5$，则$f'(1)=$_____；

（2）若函数$f(x)=f'\left(\dfrac {\pi}{4}\right )\cos x+\sin x$，则$f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )=$_____．

答案　（1）$6$；（2）$1$．

二、导数的几何意义

（1）已知曲线$S$：$y=-\dfrac 23x^3+x^2+4x$及点$P(0,0)$，则过点$P$的曲线$S$的切线方程为_____；

（2）过曲线$f(x)=\dfrac 13x^3$上的点$P$的切线方程是$12x-3y-16=0$，那么点$P$的坐标可能是______．

答案　（1）$y=4x$或$y=\dfrac {35}{8}x$；

（2）$P\left(2,\dfrac 83\right )$或$P\left(-4,-\dfrac {64}{3}\right )$． 

三、单调性与极值

（1）若函数$f(x)=2x^2-\ln x$在其定义域的子区间$(k-1,k+1)$上不单调，则实数$k$的取值范围是_____；

（2）函数$f(x)=(x^2-1)^3$的极值点有____个；

（3）已知函数$f(x)=x^3+3mx^2+nx+m^2$在$x=-1$时有极值$0$，则$m+n=$_____；

（4）若函数$f(x)=k^2x^4-\dfrac 23x^3-kx^2+2x+\dfrac 12$在$(1,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增，则$k$的取值范围为_____．

答案　（1）$\left[1,\dfrac 32\right )$；（2）$1$；（3）$11$；（4）$\left\{\dfrac 12\right \}$．

四、最值与零点问题

（1）若函数$f(x)=\dfrac {\ln x}{x}$的图象恰与直线$y=b$有两个公共点，则实数$b$的取值范围是_____；

（2）设函数$f(x)=-\dfrac 13x^3+\dfrac 12x^2+2ax,0<a<2$，若$f(x)$在区间$[1,4]$上的最小值为$-\dfrac {16}{3}$，则$f(x)$在该区间上的最大值为_____．

答案　（1）$\left(0,\dfrac {1}{\mathrm e}\right )$；（2）$\dfrac {10}{3}$．