下面这道题目是我以前在三轮复习讲义中设置的一道习题，原意是让学生练习对称最值问题的快速解法．
题目 已知三角形$ABC$的三条边对应为$a$、$b$、$c$，且$a+b+c=10$，$\cos C=\dfrac 78$，则三角形$ABC$面积的最大值为_______．
正确答案是$\sqrt {15}$．
在学生得到答案后进行严格的推理证明时出现了颇多问题，列举如下．
问题1 冻结$c$，考虑到定长的边$c$对定角$C$，此时$\triangle ABC$的外接圆固定，当$a = b$时，三角形$ABC$的面积取得最大值．因此当$c$取任何值时都有$a = b$时，三角形面积取得最大值．
这样就有三角形面积取最大值时，$a = b$，进而解得$$a = b = 4,c = 2,$$此时，$\triangle ABC$的面积取得最大值为$\sqrt {15} $．
错在哪里？
问题2 由于$${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{16}}ab,$$因此只需要求$ab$的取值范围．
考虑到$\cos C = \dfrac{7}{8}$，于是由余弦定理得$$\dfrac{{{a^2} + {b^2}-{c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{7}{8},$$而$$c = 10-\left( {a + b} \right),$$从而有$$3ab + 80 = 16\left( {a + b} \right).$$
由均值不等式有$$\dfrac{{3ab + 80}}{{16}} \geqslant 2\sqrt {ab} ,$$解得$$\sqrt {ab} \leqslant 4\lor \sqrt {ab} \geqslant \frac{{20}}{3}.$$
多出来的“$\sqrt {ab} \geqslant \dfrac{{20}}{3}$”是怎么回事？
问题3 考虑到由已知$$ \dfrac{{{a^2} + {b^2}-{c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{7}{8},$$而$$a + b + c = 10,$$从而$$a + b = 10-c,ab = \dfrac{{80-16c}}{3}.$$
此时$${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{16}}ab = \dfrac{{\sqrt {15} }}{3}\left( {5-c} \right),$$因此只需要考虑$c$的范围．
考虑到$\left| {a-b} \right| < c < a + b$，即$$\begin{cases} \left( {a + b} \right)^2-4ab < {c^2} ,\\c < a + b,\end{cases} $$将条件代入，解得$$c < 5.$$
求不出最小值，怎么回事？
参考答案
问题1 该思路错误，因为冻结$c$后，$\triangle ABC$就完全确定了．此时无法做任何调整，何来“当$a = b$时，此三角形的面积取得最大值．”？
问题2 该思路的错误在于消元$c$时，没有考虑隐含条件“$\left| {a-b} \right| < c < a + b$”．将这一条件考虑进去就可以将“$\sqrt {ab} \geqslant \dfrac{{20}}{3}$”舍去了．
问题3 该思路的错误在于消元$a$、$b$时，没有考虑隐含条件“$a + b \geqslant 2\sqrt {ab} $”．将这一条件考虑进去就可以得到“$2 \leqslant c < 5$”，从而求出${S_{\triangle ABC}}$的最大值了．