一道最值问题的“一波三折”

下面这道题目是我以前在三轮复习讲义中设置的一道习题，原意是让学生练习对称最值问题的快速解法．

题目    已知三角形$ABC$的三条边对应为$a$、$b$、$c$，且$a+b+c=10$，$\cos C=\dfrac 78$，则三角形$ABC$面积的最大值为_______．

正确答案是$\sqrt {15}$．

在学生得到答案后进行严格的推理证明时出现了颇多问题，列举如下．

问题1    冻结$c$，考虑到定长的边$c$对定角$C$，此时$\triangle ABC$的外接圆固定，当$a = b$时，三角形$ABC$的面积取得最大值．因此当$c$取任何值时都有$a = b$时，三角形面积取得最大值．

这样就有三角形面积取最大值时，$a = b$，进而解得 $$a = b = 4,c = 2,$$ 此时，$\triangle ABC$的面积取得最大值为$\sqrt {15}$．

错在哪里？

问题2     由于 $${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{16}}ab,$$ 因此只需要求$ab$的取值范围．

考虑到$\cos C = \dfrac{7}{8}$，于是由余弦定理得 $$\dfrac{{{a^2} + {b^2}-{c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{7}{8},$$ 而 $$c = 10-\left( {a + b} \right),$$ 从而有 $$3ab + 80 = 16\left( {a + b} \right).$$

由均值不等式有 $$\dfrac{{3ab + 80}}{{16}} \geqslant 2\sqrt {ab} ,$$ 解得 $$\sqrt {ab} \leqslant 4\lor \sqrt {ab} \geqslant \frac{{20}}{3}.$$

多出来的“$\sqrt {ab} \geqslant \dfrac{{20}}{3}$”是怎么回事？

问题3    考虑到由已知 $$\dfrac{{{a^2} + {b^2}-{c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{7}{8},$$ 而 $$a + b + c = 10,$$ 从而 $$a + b = 10-c,ab = \dfrac{{80-16c}}{3}.$$

此时 $${S_{\triangle ABC}} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{16}}ab = \dfrac{{\sqrt {15} }}{3}\left( {5-c} \right),$$ 因此只需要考虑$c$的范围．

考虑到$\left| {a-b} \right| < c < a + b$，即 $$\begin{cases} \left( {a + b} \right)^2-4ab < {c^2} ,\\c < a + b,\end{cases}$$ 将条件代入，解得 $$c < 5.$$

求不出最小值，怎么回事？

参考答案

问题1    该思路错误，因为冻结$c$后，$\triangle ABC$就完全确定了．此时无法做任何调整，何来“当$a = b$时，此三角形的面积取得最大值．”？

问题2    该思路的错误在于消元$c$时，没有考虑隐含条件“$\left| {a-b} \right| < c < a + b$”．将这一条件考虑进去就可以将“$\sqrt {ab} \geqslant \dfrac{{20}}{3}$”舍去了．

问题3    该思路的错误在于消元$a$、$b$时，没有考虑隐含条件“$a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$”．将这一条件考虑进去就可以得到“$2 \leqslant c < 5$”，从而求出${S_{\triangle ABC}}$的最大值了．