解题的四个阶段—也谈怎样学好数学

有很多同学曾经问过我这个问题：“我要怎样才能学好数学？”当然，这个问题过于宽泛，无法回答，因此一般我会反问：“你认为怎么样才算学好数学？”同学们对这个问题的回答有很多种，但最多的回答是：“考试的题目都会做．”那么可以这样认为，大部分同学迫切需要提高数学方面的解题能力，今天我就来谈谈怎样才能提高自己的解题能力．

在我对解题的认知中，解题有四个阶段，分别是解答、解析、解法、解释．它们呈金字塔状排列．每一个阶段都是下一个阶段的基础，但不是每一个阶段都会进入下一个阶段．

解答就是想方设法把答案弄出来（包括猜），然后给出合乎逻辑的说理过程．考试中考查的就是解答能力（对于选择填空题甚至无需说理）．但是我们平时做题的目的不是为了得分，而是为了更好的透彻理解概念、积累梳理结论、研究掌握方法．这就意味着平时做题需要更进一步的解题，错的题当然需要研究，已经做对了的题目也需要研究．也有同学在考试的时候追求“精确”、“严谨”、“通用”，这就犯了“没有抓住主要矛盾”的错误．考试的时候就应该尽量的利用自己业已积累的经验和直觉大刀阔斧的解答题目，很多逻辑上不甚严密也不打紧，可以放在试卷检查的阶段再补上．

解析就是将解答的步骤划分成若干独立的均有明确目的的阶段，然后将每个阶段都尽可能的优化．不能将一大段的解答过程划分开来，就如同一篇文章无法划分段落一样，说明没有抓住解题的脉络．在回顾自己的解题过程时始终要问自己这样几个问题：“在这一步我究竟要做什么？要做的这件事情对整个问题的解决起到什么作用？这一步是不是必要的，有没有更好的方式？”针对每一步推导都回答了这些问题，自然就可以顺利的完成解题的解析阶段．

在完成了标准的解析阶段后，还有两个小技巧可以帮助同学们提高．一个技巧是“亡羊补牢”，也就是在知晓答案（包括获得答案的每个细节）后，探索是否能够直接看出答案，如果不能，探索是否能够在完成解析的第一步后看出答案，……，依次探索下去．这样做的目的是为了锻炼大家的“注意到”的能力，平时100次的“亡羊补牢”，就是为了换取考试时1次的“未卜先知”．另一个技巧是在完成对一道题目（尤其是难题）的解析后，为了防止以后自己忘记题目的做法，写一个给自己的提示．在以后复习的过程中重新演算习题时，如果发现有题目做不出来了，可以看看自己的提示．提示写的越简洁，对自己的提示效果越好，说明自己的总结能力越强．我把这个方法称为“笑忘书”，因为这首王菲的歌的歌词中有这么一句：“将这样的感触/写一封情书/送给我自己”．

接下来谈的是解题的第三个阶段——解法．很多题目在完成了解析之后，我们可能会发现这些题目可能条件有不同，探究的问题有不同，但是解析的各个阶段有相同的部分，这时候我们就可以从中提炼出解法来．有的时候，也可以通过自己改变题目中的部分条件来达到相同的效果．这样提炼出的解法才是真正属于自己的解法，因为我们清楚的知道某个解法能解决那些核心困难，它又有什么致命缺陷，这样才可以判断出什么题目可以用这个解法，而什么题目不可以．当然，这些认识是会随着解题经验的积累而逐渐深刻的，很多解法通过改良就可以适用于原先我们认为不可以使用的情形．跟着好的老师（那种将一个方法讲得天花乱坠，然后给出一篮子无脑使用该方法的习题让人徒增成就感的老师除外）学习可以提高解法的掌握效率，但是不能代替自己的实战积累．

最后要说的是解题的最高阶段——解释．这个阶段是最为飘渺神秘的，也是让人最能得到解题的快乐的．当我们掌握了很多具体的解法以后，可以尝试用一些理论来整合它们，使它们的存在更加的“理所当然”．就比如我从一元二次方程这样的基本概念出发提出的代数变形的“元”、“次”、“形”三要素理论，就可以解释很多不同的解法．这些理论其实在很多书中都能发现踪影，正所谓殊途同归、大道归一．不同的人悟道的方式大不相同，但最后都能找到相通之处，这就是解释．

我写的每日一题大部分都是在展现解析和解法，希望同学们可以通过我的每日一题观摩掌握有效的解题方式，培养强大的数学解题能力．