每日一题[265]转换起点

2015年上海市普陀区一模数学试卷第18题（选择压轴题）：

若在边长为$1$的正三角形$ABC$边$BC$上有$n$（$n\in\mathcal N^*\land n\geqslant 2$）等分点，沿向量$\overrightarrow{BC}$的方向依次为$P_1,P_2,\cdots,P_{n-1}$，记 $$T_n=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_1}+\overrightarrow{AP_1}\cdot\overrightarrow{AP_2}+\cdots+\overrightarrow{AP_{n-1}}\cdot\overrightarrow{AC},$$ 若给出四个数值：

① $\dfrac{29}4$；② $\dfrac{91}{10}$；③ $\dfrac{197}{18}$；④ $\dfrac{232}{33}$，

则$T_n$的值不可能的共有（        ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

正确答案是 D．

解    由于以$A$为起点时各个向量的夹角未知，因此考虑将问题转化为以$B$为起点的．

记$\overrightarrow{BA}=\bf a$，$\overrightarrow{BP_1}=\bf b$，则 $$\begin{split}T_n&={\bf a}\cdot({\bf a}-{\bf b})+({\bf a}-{\bf b})\cdot ({\bf a}-2{\bf b})+\cdots+\left[{\bf a}-(n-1){\bf b}\right]\cdot\left({\bf a}-n{\bf b}\right)\\&=n\cdot ({\bf a}\cdot{\bf a})-\left[1+3+\cdots+(2n-1)\right]\cdot({\bf a}\cdot {\bf b})-\left[1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+(n-1)n\right]\cdot ({\bf b}\cdot{\bf b})\\&=n-n^2\cdot \dfrac {1}{2n}+\dfrac 13(n-1)n(n+1)\cdot \dfrac{1}{n^2}\\&=\dfrac{5n^2-2}{6n},\end{split}$$ 其中用到了裂项 $$(n-1)n=\dfrac 13\left[(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\right].$$

接下来进行验证，注意到若$\dfrac{5n^2-2}{6n}=r$，则 $$\dfrac 65r<n<\dfrac 65r+1,$$ 于是只需要验证$n=9,11,14$的情况．

事实上，$T_9=\dfrac{403}{54}$，$T_{11}=\dfrac{201}{22}$，$T_{14}=\dfrac{163}{14}$，于是给出的四个数值均不可能为$T_n$的取值．

注一    上海市的高考试卷先是填空题，然后是选择题，所以第18小题是选择题．

注二    上海市高考允许使用计算器，因此很多运算可以依靠计算器完成．