征解问题[9] 二次函数的特殊根（已解决）

题目来自百度贴吧．

已知整系数二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个不同实根均在区间\((1,2)\)上，求正整数\(a\)的最小值．

 我很快就构造了\(a=5\)的情形：

根据题目要求，有\[\begin{cases}a+b+c>0\\4a+2b+c>0\\-\frac{b}{2a}\in (1,2)\\b^2-4ac>0\end{cases}\]

设想一个差不多的方程\[ax^2-3ax+2a=0,\]此时\[a=a,b=-3a,c=2a.\]但该方程的\(b\)或者\(c\)需要增大一点，使得\[a+b+c>0\land 4a+2b+c>0.\]但这样会使得判别式失控，我们需要单独处理．

（1）若令\(a=a+1\)，则有\[(-3a)^2-4\cdot (a+1)\cdot 2a=a^2-8a>0.\]

（2）若令\(b=-3a+1\)，则有\[(-3a+1)^2-4\cdot a\cdot 2a=a^2-6a+1>0.\]

（3）若令\(c=2a+1\)，则有\[(-3a)^2-4\cdot a\cdot (2a+1)=a^2-4a>0.\]

看起来方案（3）最科学，于是\(a\)可以取\(5\)，此时\(b=-15,c=11\)，验证通过！

 这样我们构造了\(a=5\)的情形．

接下来需要说明\(a=1,2,3,4\)不可能，我是用对称轴和判别式很繁琐的完成这个任务的，大家有更好的方法吗？

2015年3月6日更新扒拉题的解法，http://tieba.baidu.com/p/3575904855．

由题意所得的不等式组可以整理为\[\begin{cases}c>-b-a\\c>-2b-4a\\-4a<b<-2a\\c<\frac{1}{4a}\cdot b^2\end{cases}\]其中将\(a\)看作参数，在坐标系\(bOc\)中画出可行域

情形1：当\(-3a\leqslant b<-2a\)时，设\(b=-2a-n\)，其中\(0<n\leqslant a\)，\(n\in\mathcal Z\)．此时\[-b-a<c<\dfrac{b^2}{4a},\]要使该范围内存在整数\(c\)，需\[\dfrac{b^2}{4a}-(-b-a)>1\]将\(b=-2a-n\)代入整理得\[n^2>4a,\]要使得在可\(0<n\leqslant a\)范围内存在整数\(n\)，只需\[a^2>4a\]解得\[a>4.\]

情形2：当\(-4a<b<-3a\)时，设\(b=-4a-n\)，其中\(0<n<a\)，\(n\in\mathcal Z\)．此时\[-2b-4a<c<\dfrac{b^2}{4a},\]要使该范围内存在整数\(c\)，需\[\dfrac{b^2}{4a}-(-2b-4a)>1\]将\(b=-4a-n\)代入整理得\[n^2>4a,\]要使得在\(0<n<a\)范围内存在\(n\)，只需\[(a-1)^2>4a,\]解得\[0<a<3-2\sqrt 2\lor a>3+2\sqrt 2.\]

综合情形1与情形2可知，\(a\geqslant 5\)，进而可以利用情形1构造\(a=5\)的例子，从略．

2015年8月6日更新解法，来源于帷幕讨论组的zhj．

记\(f(x)=ax^2+bx+c\)，并设两根分别为\(x_1\)和\(x_2\)，则\[f(1)\geqslant 1\land f(2)\geqslant 1,\]于是\[\begin{split}f(1)\cdot f(2)&=a\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)\cdot a\left(2-x_1\right)\left(2-x_2\right)\\&\leqslant a^2\cdot\left[\dfrac{\left(x_1-1\right)+\left(x_2-1\right)+\left(2-x_1\right)+\left(2-x_2\right)}4\right]^4&=\dfrac{a^2}{16},\end{split}\]等号取得的条件为\(x_1=x_2=\dfrac 32\)，因此可得\(a>4\)．

令\(f(1)=f(2)=1\)，\(a=5\)即得解得\(f(x)=5x^2-15x+11\)，于是\(a\)的最小解为\(5\)．