今天带来的题目是2015年北京海淀区高三期末理科选择最后一题．这道题目是经典的解析几何动态问题，需要运用函数与方程思想，积极探索构造不变量加以解决．
已知点\(A\)在曲线\(P:y=x^2(x>0)\)上，圆\(A\)过原点\(O\)，且与\(y\)轴的另一个交点为\(M\)．若线段\(OM\)，圆\(A\)和曲线\(P\)上分别存在点\(B\)、点\(C\)和点\(D\)，使得四边形\(ABCD\)（点\(A,B,C,D\)顺时针排列）是正方形，则称点\(A\)为曲线\(P\)的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）
A．曲线\(P\)上不存在“完美点”
B．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(1\)
C．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(\dfrac 12\)且小于\(1\)
D．曲线\(P\)上存在两个“完美点”，其横坐标均大于\(\dfrac 12\)
正确答案是B，你做对了吗？
想象自己是一个插图师，需要给这道题目配图．当然，除非先计算出了\(A,B,C,D\)点的准确位置，否则无法准确的画出这个正方形来．因此我们可以在曲线\(P\)上挑一个\(A\)的位置，然后在此基础上进行作图尝试．虽然\(A\)的位置基本是错误的，但如果我们使用尽量保证图形靠近正方形的作图法，就可以通过调整\(A\)点的位置，将图形调整为正方形．如图：
1、连接\(OA\)，则\(OA\)的长度就是正方形的对角线长；
2、以\(A\)为圆心\(\dfrac{OA}{\sqrt 2}\)为半径作圆，取该圆与\(y\)轴交点中上方的一个为\(B\)，取该圆与抛物线交点中上方的一个为\(D\)（这是因为点\(A,B,C,D\)顺时针排列）；
3、作\(\angle BAD\)的平分线，并截取\(AC=AO\)．
此时我们只需要调整\(A\)的位置，使得\(\angle BAD=90^\circ\)即可（有没有“万事俱备，只欠东风”的感觉？）．
接下来，考虑这样的位置能否找到；如果能找到，有几个？
设\(A\)的坐标为\(A(m,m^2)\)．则\(m\)至少为\(1\)，否则无法找到\(B\)．当\(m=1\)时，显然\(\angle BAD\)为钝角；而当\(m\)逐渐增大时，将\(\angle BAD\)为分割为两个部分：
很明显，这两个部分都单调递减，且趋于\(0\)（想一想，为什么？）
于是满足条件的\(A\)的位置必然存在，且唯一，选B．
最后附上插画师的完成效果图：
