每日一题[15]不变量与“完美点”

今天带来的题目是2015年北京海淀区高三期末理科选择最后一题．这道题目是经典的解析几何动态问题，需要运用函数与方程思想，积极探索构造不变量加以解决．

已知点$A$在曲线$P:y=x^2(x>0)$上，圆$A$过原点$O$，且与$y$轴的另一个交点为$M$．若线段$OM$，圆$A$和曲线$P$上分别存在点$B$、点$C$和点$D$，使得四边形$ABCD$（点$A,B,C,D$顺时针排列）是正方形，则称点$A$为曲线$P$的“完美点”．那么下列结论中正确的是（        ）

A．曲线$P$上不存在“完美点”

B．曲线$P$上只存在一个“
完美点”，其横坐标大于$1$

C．曲线$P$上只存在一个“完美点”，其横坐标大于$\dfrac 12$且小于$1$

D．曲线$P$上存在两个“完美点”，其横坐标均大于$\dfrac 12$

正确答案是B，你做对了吗？

想象自己是一个插图师，需要给这道题目配图．当然，除非先计算出了$A,B,C,D$点的准确位置，否则无法准确的画出这个正方形来．因此我们可以在曲线$P$上挑一个$A$的位置，然后在此基础上进行作图尝试．虽然$A$的位置基本是错误的，但如果我们使用尽量保证图形靠近正方形的作图法，就可以通过调整$A$点的位置，将图形调整为正方形．如图：

1、连接$OA$，则$OA$的长度就是正方形的对角线长；

2、以$A$为圆心$\dfrac{OA}{\sqrt 2}$为半径作圆，取该圆与$y$轴交点中上方的一个为$B$，取该圆与抛物线交点中上方的一个为$D$（这是因为点$A,B,C,D$顺时针排列）；

3、作$\angle BAD$的平分线，并截取$AC=AO$．

此时我们只需要调整$A$的位置，使得$\angle BAD=90^\circ$即可（有没有“万事俱备，只欠东风”的感觉？）．

接下来，考虑这样的位置能否找到；如果能找到，有几个？

设$A$的坐标为$A(m,m^2)$．则$m$至少为$1$，否则无法找到$B$．当$m=1$时，显然$\angle BAD$为钝角；而当$m$逐渐增大时，将$\angle BAD$为分割为两个部分：

很明显，这两个部分都单调递减，且趋于$0$（想一想，为什么？）

于是满足条件的$A$的位置必然存在，且唯一，选B．

最后附上插画师的完成效果图：