如图，在直角三角形\(ABC\)中，已知\(BC=a\)．若长为\(2a\)的线段\(PQ\)以点\(A\)为中点，问\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\overrightarrow{BC}\)的夹角\(\theta\)取何值时，\(\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}\)的值最大？并求出这个最大值．
如图，根据题意有
\[\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\\&=-a^2+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CB}\\&\leqslant -a^2+a^2=0,\end{split}\]
等号当且仅当\(\overrightarrow{AP}\)与\(\overrightarrow{CB}\)同向，即\(\theta=0\)时取得．