每日一题[28] 正四面体的投影

这是2006年高考数学浙江理14题,找到运动中的分界点进行恰当的分类讨论是其中的关键之处.

正四面体ABCD的棱长为1,棱AB平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形的面积的取值范围是________.


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如图,不妨将四面体的棱AB平移到平面α内,设四面体的顶点CD在平面α内的射影分别为PQPQAB=M,则MAB的中点.

当点P和点Q分别在AB的两侧时,所求射影面积为

12PQAB

当且仅当CD\parallel\alpha时取得等号.

当点P和点QAB的同侧时,所求射影面积为

\dfrac 12\cdot\max\{MP,MQ\}\cdot AB\geqslant \dfrac 12d\{CD,AB\}\cdot AB=\dfrac{\sqrt 2}4,

当且仅当CD\perp\alpha时取得等号.

因此所求射影面积的取值范围是\left[\dfrac{\sqrt 2}4,\dfrac 12\right]

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