练习题[1] 基本初等函数练习题

1、(2014年北京市海淀区高一期末试题)已知函数f(x)=sinπ2x,任取tR,记函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为Mt,最小值为mt,记h(t)=Mtmt.则关于函数h(t)有如下结论:

① 函数h(t)为偶函数;

② 函数h(t)的值域为[122,1]

③ 函数h(t)的周期为2

④ 函数h(t)的单调增区间为[2k+12,2k+32],kZ

其中正确的结论有________.(填上所有正确的结论序号)

 2、(2014年北京市海淀区高一期末考试题)已知函数f(x)的定义域为[0,1],且f(x)的图象连续不间断.若函数f(x)满足:对于给定的m(其中mRm(0,1),存在x0[0,1m],使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m)

(1)已知函数f(x)=(x12)2,x[0,1],判断f(x)是否具有性质P(13),并说明理由;

(2)已知函数f(x)={4x+1,0x<14,4x1,14x<34,4x+5,34x1,f(x)具有性质P(m),求m的最大值;

(3)若函数f(x)的定义域为[0,1],且f(x)的图象连续不间断,又满足f(0)=f(1),求证:对任意kNk2,函数f(x)具有性质P(1k)

 3、(2013年北京市西城区高一期末考试题)已知函数g(x)=logax,其中a>1

(1)当x[0,1]时,g(ax+2)>1恒成立,求a的取值范围;

(2)设m(x)是定义在[s,t]上的函数,在(s,t)内任取n1个数x1,x2,,xn2,xn1,设x1<x2<<xn2<xn1,令s=x0t=xn,如果存在一个常数M>0,使得ni=1|m(xi)m(xi1)|M恒成立,则称函数m(x)在区间[s,t]上具有性质P. 试判断函数f(x)=|g(x)|在区间[1a,a2]上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.


参考答案

1、③④

2、(1)具有性质P

(2)m的最大值为12,注意m的几何意义为水平线被函数图象截得的弦长;

(3)构造函数g(x)=f(x)f(x+1k),x[0,11k],则注意到k1i=0g(ik)=f(0)f(1)=0,于是不难证明函数g(x)一定有零点,原命题得证.

3、(1)a(1,3)

(2)具有性质Pmin(M)=3

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