1、（2014年北京市海淀区高一期末试题）已知函数\(f(x)=\sin\dfrac{\pi}2x\)，任取\(t\in\mathcal R\)，记函数\(f(x)\)在区间\([t,t+1]\)上的最大值为\(M_t\)，最小值为\(m_t\)，记\(h(t)=M_t-m_t\)．则关于函数\(h(t)\)有如下结论：
① 函数\(h(t)\)为偶函数；
② 函数\(h(t)\)的值域为\(\left[1-\dfrac{\sqrt 2}2,1\right]\)；
③ 函数\(h(t)\)的周期为\(2\)；
④ 函数\(h(t)\)的单调增区间为\(\left[2k+\dfrac 12,2k+\dfrac 32\right],k\in \mathcal Z\)，
其中正确的结论有________．（填上所有正确的结论序号）
2、（2014年北京市海淀区高一期末考试题）已知函数\(f(x)\)的定义域为\([0,1]\)，且\(f(x)\)的图象连续不间断．若函数\(f(x)\)满足：对于给定的\(m\)（其中\(m\in\mathcal R\)且\(m\in(0,1)\)，存在\(x_0\in [0,1-m]\)，使得\(f(x_0)=f(x_0+m)\)，则称\(f(x)\)具有性质\(P(m)\)．
（1）已知函数\(f(x)=\left(x-\dfrac 12\right)^2,x\in [0,1]\)，判断\(f(x)\)是否具有性质\(P\left(\dfrac 13\right)\)，并说明理由；
（2）已知函数\[f(x)=\begin{cases}-4x+1,&0\leqslant x<\dfrac 14,\\4x-1,&\dfrac 14\leqslant x<\dfrac 34,\\-4x+5,&\dfrac 34\leqslant x\leqslant 1,\end{cases}\]若\(f(x)\)具有性质\(P(m)\)，求\(m\)的最大值；
（3）若函数\(f(x)\)的定义域为\([0,1]\)，且\(f(x)\)的图象连续不间断，又满足\(f(0)=f(1)\)，求证：对任意\(k\in\mathcal N^*\)且\(k\geqslant 2\)，函数\(f(x)\)具有性质\(P\left(\dfrac 1k\right)\)．
3、（2013年北京市西城区高一期末考试题）已知函数\(g(x)={\log_a}x\),其中\(a>1\)．
（1）当\(x\in[0,1]\)时，\(g(a^x+2)>1\)恒成立，求\(a\)的取值范围；
（2）设\(m(x)\)是定义在\([s,t]\)上的函数，在\((s,t)\)内任取\(n-1\)个数\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-2},x_{n-1}\)，设\(x_1<x_2<\cdots<x_{n-2}<x_{n-1}\)，令\(s=x_0\)，\(t=x_n\)，如果存在一个常数\(M>0\)，使得\[\sum_{i=1}^n\left|m(x_i)-m(x_{i-1})\right|\leqslant M\]恒成立，则称函数\(m(x)\)在区间\([s,t]\)上具有性质\(P\)． 试判断函数\(f(x)=\left|g(x)\right|\)在区间\(\left[\dfrac 1a,a^2\right]\)上是否具有性质\(P\)？若具有性质\(P\)，请求出\(M\)的最小值；若不具有性质\(P\)，请说明理由．
参考答案
1、③④
2、（1）具有性质\(P\)；
（2）\(m\)的最大值为\(\dfrac 12\)，注意\(m\)的几何意义为水平线被函数图象截得的弦长；
（3）构造函数\[g(x)=f(x)-f\left(x+\dfrac 1k\right),x\in \left[0,1-\dfrac 1k\right],\]则注意到\[\sum_{i=0}^{k-1}g\left(\dfrac ik\right)=f(0)-f(1)=0,\]于是不难证明函数\(g(x)\)一定有零点，原命题得证．
3、（1）\(a\in (1,3)\)；
（2）具有性质\(P\)，\(\min (M)=3\)．