练习题[1] 基本初等函数练习题

1、（2014年北京市海淀区高一期末试题）已知函数$f(x)=\sin\dfrac{\pi}2x$，任取$t\in\mathcal R$，记函数$f(x)$在区间$[t,t+1]$上的最大值为$M_t$，最小值为$m_t$，记$h(t)=M_t-m_t$．则关于函数$h(t)$有如下结论：

① 函数$h(t)$为偶函数；

② 函数$h(t)$的值域为$\left[1-\dfrac{\sqrt 2}2,1\right]$；

③ 函数$h(t)$的周期为$2$；

④ 函数$h(t)$的单调增区间为$\left[2k+\dfrac 12,2k+\dfrac 32\right],k\in \mathcal Z$，

其中正确的结论有________．（填上所有正确的结论序号）

 2、（2014年北京市海淀区高一期末考试题）已知函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，且$f(x)$的图象连续不间断．若函数$f(x)$满足：对于给定的$m$（其中$m\in\mathcal R$且$m\in(0,1)$，存在$x_0\in [0,1-m]$，使得$f(x_0)=f(x_0+m)$，则称$f(x)$具有性质$P(m)$．

（1）已知函数$f(x)=\left(x-\dfrac 12\right)^2,x\in [0,1]$，判断$f(x)$是否具有性质$P\left(\dfrac 13\right)$，并说明理由；

（2）已知函数

$$f(x)=\begin{cases}-4x+1,&0\leqslant x<\dfrac 14,\\4x-1,&\dfrac 14\leqslant x<\dfrac 34,\\-4x+5,&\dfrac 34\leqslant x\leqslant 1,\end{cases}$$ 若$f(x)$具有性质$P(m)$，求$m$的最大值；

（3）若函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，且$f(x)$的图象连续不间断，又满足$f(0)=f(1)$，求证：对任意$k\in\mathcal N^*$且$k\geqslant 2$，函数$f(x)$具有性质$P\left(\dfrac 1k\right)$．

 3、（2013年北京市西城区高一期末考试题）已知函数$g(x)={\log_a}x$,其中$a>1$．

（1）当$x\in[0,1]$时，$g(a^x+2)>1$恒成立，求$a$的取值范围；

（2）设$m(x)$是定义在$[s,t]$上的函数，在$(s,t)$内任取$n-1$个数$x_1,x_2,\cdots,x_{n-2},x_{n-1}$，设$x_1<x_2<\cdots<x_{n-2}<x_{n-1}$，令$s=x_0$，$t=x_n$，如果存在一个常数$M>0$，使得

$$\sum_{i=1}^n\left|m(x_i)-m(x_{i-1})\right|\leqslant M$$ 恒成立，则称函数$m(x)$在区间$[s,t]$上具有性质$P$． 试判断函数$f(x)=\left|g(x)\right|$在区间$\left[\dfrac 1a,a^2\right]$上是否具有性质$P$？若具有性质$P$，请求出$M$的最小值；若不具有性质$P$，请说明理由．

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参考答案

1、③④

2、（1）具有性质$P$；

（2）$m$的最大值为$\dfrac 12$，注意$m$的几何意义为水平线被函数图象截得的弦长；

（3）构造函数

$$g(x)=f(x)-f\left(x+\dfrac 1k\right),x\in \left[0,1-\dfrac 1k\right],$$ 则注意到 $$\sum_{i=0}^{k-1}g\left(\dfrac ik\right)=f(0)-f(1)=0,$$ 于是不难证明函数$g(x)$一定有零点，原命题得证．

3、（1）$a\in (1,3)$；

（2）具有性质$P$，$\min (M)=3$．