1、(2014年北京市海淀区高一期末试题)已知函数f(x)=sinπ2x,任取t∈R,记函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为Mt,最小值为mt,记h(t)=Mt−mt.则关于函数h(t)有如下结论:
① 函数h(t)为偶函数;
② 函数h(t)的值域为[1−√22,1];
③ 函数h(t)的周期为2;
④ 函数h(t)的单调增区间为[2k+12,2k+32],k∈Z,
其中正确的结论有________.(填上所有正确的结论序号)
2、(2014年北京市海淀区高一期末考试题)已知函数f(x)的定义域为[0,1],且f(x)的图象连续不间断.若函数f(x)满足:对于给定的m(其中m∈R且m∈(0,1),存在x0∈[0,1−m],使得f(x0)=f(x0+m),则称f(x)具有性质P(m).
(1)已知函数f(x)=(x−12)2,x∈[0,1],判断f(x)是否具有性质P(13),并说明理由;
(2)已知函数f(x)={−4x+1,0⩽x<14,4x−1,14⩽x<34,−4x+5,34⩽x⩽1,若f(x)具有性质P(m),求m的最大值;
(3)若函数f(x)的定义域为[0,1],且f(x)的图象连续不间断,又满足f(0)=f(1),求证:对任意k∈N∗且k⩾2,函数f(x)具有性质P(1k).
3、(2013年北京市西城区高一期末考试题)已知函数g(x)=logax,其中a>1.
(1)当x∈[0,1]时,g(ax+2)>1恒成立,求a的取值范围;
(2)设m(x)是定义在[s,t]上的函数,在(s,t)内任取n−1个数x1,x2,⋯,xn−2,xn−1,设x1<x2<⋯<xn−2<xn−1,令s=x0,t=xn,如果存在一个常数M>0,使得n∑i=1|m(xi)−m(xi−1)|⩽M恒成立,则称函数m(x)在区间[s,t]上具有性质P. 试判断函数f(x)=|g(x)|在区间[1a,a2]上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.
参考答案
1、③④
2、(1)具有性质P;
(2)m的最大值为12,注意m的几何意义为水平线被函数图象截得的弦长;
(3)构造函数g(x)=f(x)−f(x+1k),x∈[0,1−1k],则注意到k−1∑i=0g(ik)=f(0)−f(1)=0,于是不难证明函数g(x)一定有零点,原命题得证.
3、(1)a∈(1,3);
(2)具有性质P,min(M)=3.