给我一个垂心还你多线垂直

如图，$\triangle ABC$的外心为$O$，$AB=AC$，$D$是$AB$的中点，$E$是$\triangle ACD$的重心．证明：$OE\perp CD$．

我们先来看一题：

如图，已知矩形$ABCD$，$N$为平面上一点，连接$AN,DN$均与$BC$相交，作$BP\perp DN$，$CQ\perp AN$，两条垂线交点为$M$．求证：$MN\perp BC$．

题干中两条垂线段交于点$M$，求证经过点$M$的线段与另一条线段垂直，由此想到三角形垂心的唯一性．
过点$N$作$NE\parallel AB$，使得$NE=AB$，则$NE\parallel DC$，$NE=DC$．
连接$BE,CE$，则四边形$ABEN$和四边形$CDNE$均为平行四边形．

所以$BP\perp CE$，$CQ\perp BE$，
则$\triangle EBC$中，$M$为其垂心，所以$EM\perp BC$．
由$EN\parallel AB$，可得$EN\perp BC$，
所以点$E,N ,M$三点共线，
所以$NM\perp BC$．

再来看本题，连接$AO$并延长，交$CD$于点$H$，连接$OD$．
易得$AH\perp BC$，$OD\perp AB$，所以能否构造三角形使得点$O$为其垂心很关键．
显然点$H$为$\triangle ABC$的重心，则$\dfrac {DH}{HC}=\dfrac 12$；取$CD$中点$G$，则$\dfrac {DH}{HG}=2$．
连接$DE$并延长，交$AC$于点$F$，则$DE\parallel BC$；
连接$EH,FG$，则$\dfrac {DH}{HG}=\dfrac {DE}{EF}=2$，
$\therefore EH\parallel FG \parallel AB$．
$\therefore O$为$\triangle DEH$的垂心，
$\therefore OE \perp CD$．

注    三角形三条高所在的直线交于一点，此点称为三角形的垂心，所以可根据“垂心的唯一性”来证明线段互相垂直．