每日一题[226] 求通项公式

已知数列$\{a_n\}$满足$\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n$，其中$n\in \mathcal N^*$，且$a_2=6$，求$\{a_n\}$的通项公式．

正确答案是$a_n=n(2n-1)$．

解    根据已知，不难推得 $$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n-1}a_n-\dfrac{n+1}{n-1},n=2,3,\cdots$$ 且$a_1=1$．

法一    迭代法

对于$a_n=f(n)\cdot a_{n-1}+g(n)$类型的递推公式，可以迭代得到通项 $$a_n=\left[\prod_{k=2}^nf(k)\right] a_1+\left[\prod_{k=3}^nf(k)\right]g(2)+\cdots+f(n)g(n-1)+g(n).$$

当$n\geqslant 2\land n\in\mathcal N^*$时，由原式得 $$\begin{split}a_n&=\dfrac{n}{n-2}\cdot a_{n-1}-\dfrac{n}{n-2}\\&=\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdot a_{n-2}-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}-\dfrac{n}{n-2}\\&= \cdots\\&=\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdots\dfrac{3}{1}\cdot a_2-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdots\dfrac{3}{1}-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}-\dfrac{n}{n-2}\\&=\dfrac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}\cdot 6-\dfrac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}-\cdots-\dfrac{n\cdot (n-1)}{(n-2)\cdot (n-3)}-\dfrac{n}{n-2}\\&=3n(n-1)-n(n-1)\cdot\left[\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-3)\cdot (n-2)}\right]-\dfrac n{n-2}\\&=3n(n-1)-n(n-1)\cdot\left[1-\dfrac 1{n-2}\right]-\dfrac n{n-2}\\&=2n^2-n,\end{split}$$ 又$a_1=1$符合该式，所以$a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathcal N^*$．

法二    拆项法

对于$a_n=f(n)\cdot a_{n-1}+g(n)$类型的递推公式，也可以和裂项法类似的设法拆项,设 $$f(n)=\dfrac{h(n)}{h(n-1)},$$ 此时递推公式可以改写为 $$\dfrac{a_n}{h(n)}=\dfrac{a_{n-1}}{h(n-1)}+\dfrac{g(n)}{h(n)},$$ 即可构造辅助数列．

注意到 $$\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{(n+1)\cdot n}{n\cdot (n-1)},$$ 于是可得 $$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1{(n-1)n},$$ 设$b_{n}=\dfrac {a_{n}}{(n-1)\cdot n}$，则 $$b_{n+1}=b_n-\dfrac 1{(n-1)\cdot n},$$ 于是累加可得 $$b_n=\dfrac {2n-1}{n-1},n=2,3,\cdots$$ 从而 $$a_n=n(2n-1),n=2,3,\cdots$$ 又$a_1=1$符合该式，所以$a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathcal N^*$．

法三    待定系数法

原式整理可得 $$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n-(n+1),$$ 可以设法将右侧多出来的$n+1$进行裂项： $$(n-1)\cdot [a_{n+1}+k(n+1)+b]=(n+1)\cdot [a_n+kn+b],$$ 即 $$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n+kn+2b+k,$$ 比较系数，可得$k=-1\land b=0$．因此 $$\dfrac{a_{n+1}-(n+1)}{a_n-n}=\dfrac{n+1}{n-1},$$ 利用累乘法即可求得$a_n=n(2n-1)$．

注    对于$a_n=f(n)\cdot a_{n-1}+g(n)$类型的递推公式而言，迭代法为通法，拆项法是常用方法，而恰当的运用待定系数法可以将原来计算强度大或者无法进行的递推计算变得简单或者可以进行．