这是2014年辽宁卷的第14小题:
已知函数\(f(x)=\left|x^2+3x\right|\),若方程\(f(x)-a|x-1|=0\)恰有\(4\)个互异的实数根,则实数\(a\)的取值范围是________.
一般的想法是分离变量:
\[a=\frac{\left|x^2+3x\right|}{|x-1|},\]
令\(t=x-1\)可得\[a=\left|t+\frac 4t+5\right|.\]
画图得\(a\)的取值范围是\((0,1)\cup(9,+\infty)\).
事实上,直接代数求解更快:
显然\(a>0\),根据题意
\[\begin{split}f(x)-a|x-1|=0&\Leftrightarrow x^2+3x=ax-a \lor x^2+3x=-ax+a\\&\Leftrightarrow x^2+(3-a)x+a=0 \lor x^2+(3+a)x-a=0.\end{split}\]
因此\[(3-a)^2-4a>0 \land (3+a)^2+4a>0 \Leftrightarrow a<1 \lor a>9.\]
注意到两个方程相加有\[2x^2+6x=0,\]于是不会有重根.
这样就得到了\(a\)的取值范围是\((0,1)\cup(9,+\infty)\).
这个小题告诫我们,并不是任何函数的零点问题都是数形结合方法最优,多试探多总结才能更有所得.
表示代数方法看不懂,为什么要相加