练习题[26] 提高练习

1、函数\(f(x)=\left|7x-\sqrt{4x^2-9}\right|\)的最小值为_______．

2、若\(\tan x=2\tan\dfrac{\pi}{5}\)，则\(\dfrac{\cos\left(x-\dfrac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)}=\)_______．

3、已知等腰直角三角形\(ABC\)中，\(AC=BC=4\)，\(D\)为\(AC\)的中点，点\(P\)、\(Q\)是斜边\(AB\)上的动点，且\(PQ=2\sqrt 2\)．当\(P\)、\(Q\)在边\(AB\)上运动时，四边形\(PQCD\)周长的最小值是_______．

4、抛物线\(y^2=2x\)的内接三角形\(ABC\)的三条边所在直线与抛物线\(x^2=2y\)均相切，设\(A\)、\(B\)两点的纵坐标分别为\(a\)、\(b\)，则\(C\)点的纵坐标为________．（用\(a\)、\(b\)表示）

5、已知圆\(O:x^2+y^2=r^2(r>0)\)和圆\(C:(x-4)^2+(y+3)^2=18\)，对于圆\(O\)上任意一点\(P\)，圆\(C\)上均存在两点\(A\)、\(B\)，使得\(\angle APB\)为钝角，则\(r\)的取值范围是_______．

6、四边形\(ABCD\)中，\(\angle ABC=\angle ACB=45^\circ\)，\(\angle ADC=75^\circ\)，\(AD=5\sqrt 2\)，\(CD=6\)，则\(BD\)的长为_______．

7、已知\(a,b,c>0\)，求证：\((a+b)^2+(a+b+4c)^2\geqslant \dfrac{100abc}{a+b+c}\)．

参考答案

1、\(\dfrac{9\sqrt 5}2\)    提示    令\(x=\dfrac{3}{2\cos\theta}\)．

2、\(3\)

3、\(2+2\sqrt 2+2\sqrt 5\)    提示    如图．

4、\(-a-b\)

5、\((0,1)\)    提示    对圆\(C\)张角为钝角的圆的轨迹是一个圆环（不包含边界）．

6、\(2\sqrt{19}\)    提示    如图．

7、证明    由于\[\begin{split}(a+b)^2+(a+b+4c)^2&\geqslant \left(2\sqrt{ab}\right)^2+\left(2\sqrt{(a+b)\cdot 4c}\right)^2\\&=4ab+16bc+16ca,\end{split}\]而根据柯西不等式，有\[\left(4ab+16bc+16ca\right)\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\geqslant (2+4+4)^2=100,\]因此原不等式得证．