每日一题[190]最大数的最小值

已知\(a^2+b^2+c^2=54\)，\(a+b+c=12\)，求\(a,b,c\)三个数中的最大数的最小值．

正确答案为\(5\)．

首先考虑\(a,b,c\)均为非负数的情形．

视\(c\)为已知数，则条件变为关于\(a,b\)的二元二次方程组，下面研究该方程组有解的条件．

由\[2\left(a^2+b^2\right)\geqslant (a+b)^2\]得\[2\left(54-c^2\right)\geqslant \left(12-c\right)^2,\]解得\[2\leqslant c\leqslant 6.\]

当$c=2$时，$a=b=5$满足要求，此时$a,b,c$三个数中最大数为$5$．下面证明三个数中的最大数不可能小于$5$：
不妨设$a\geqslant b\geqslant c$，则$a\geqslant 4$，下面用反证法证明$a\geqslant 5$：
否则$a<5$，$b,c$满足$$\begin{cases} b^2+c^2=54-a^2,\\b+c=12-a,\end{cases}$$从而得到$$\begin{cases}b+c=12-a,\\bc=a^2-12a+45,\end{cases}$$即$b,c$为一元二次方程$$x^2-(12-a)x+(a^2-12a+45)=0$$的两根，其中$a$为参数，且$a\in [2,5)$．记左边对应的函数为$f(x)$，则有$$f(5)=(a-2)(a-5)<0,$$所以这个一元二次方程的大根$b$大于$5$，与$a$是$a,b,c$中最大的数，且$a<5$矛盾．

当$a,b,c$中存在负数时，由$a+b+c=12$可知最大数一定不小于$6$．

综上，$a,b,c$三个数中的最大数的最小值为$5$．