古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角 $\beta$ 的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为 $2\alpha$，则曲线的离心率为 $e=\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}$．设圆锥 $SO$ 的底面半径为 $4$，母线长为 $12$，$\triangle SAB$ 是圆锥的一个轴截面，$D$ 为 $SA$ 中点，过 $B,D$ 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆 $\Gamma$，则（ ）
A．椭圆 $\Gamma$ 的长轴长为 $2\sqrt{17}$
B．椭圆 $\Gamma$ 的离心率为 $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$
C．$SO$ 与 $BD$ 的交点是椭圆 $\Gamma$ 的一个焦点
D．内接于椭圆的矩形面积最大值为 $4\sqrt{34}$
答案 ABD．
解析 如图，利用 $D(-2,4\sqrt 2),B(4,0)$ 和截距坐标公式可得 $OM=\frac{8\sqrt 2}3$，$BM=\frac{2\sqrt{68}}3$，进而 $\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}3$，$\cos\beta=\frac{2\sqrt 2}{\sqrt{17}}$，于是椭圆 $\Gamma$ 的长轴长为 $|BD|=2\sqrt{17}$，离心率 $e=\frac 3{\sqrt{17}}$，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 正确；
对于选项 $\boxed{C}$，根据丹德林球的性质，焦点是丹德林球与截面的切点，不再圆锥的轴 $SO$ 上，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，记椭圆的长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$，则内接于椭圆的矩形面积的最大值为\[2ab=2a^2\sqrt{1-e^2}=4\sqrt{34},\]选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．