设 $r=\dfrac{1+\sqrt 5}2$，计算 $7\arctan^2r+2\arctan^2r^3-\arctan^2r^5=$_____．
答案 $\dfrac{7\pi^2}8$．
解析 $r$ 是方程 $r^2=r+1$ 的正根，于是\[r^3=2r+1,\quad r^5=5r+3,\]设 $(\arctan r,\arctan r^3,\arctan r^5)=(x,y,z)$，则\[ \begin{cases} \tan(y-x)=\frac{(2r+1)-r}{1+(2r+1)r}=\frac{r+1}{2r^2+r+1}=\frac 13,\\ \tan (z-x)=\frac{(5r+3)-r}{1+(5r+3)r}=\frac{4r+3}{5r^2+3r+1}=\frac 12,\end{cases} \]而\[r^2=r+1\implies \frac{2r}{1-r^2}=-2\implies 2x=\pi-\arctan 2,\]进而\[\arctan\frac 12=\frac{\pi}2-\arctan 2=2x-\frac{\pi}2,\quad \arctan\frac 13=\frac{\pi}4-\arctan\frac 12=\frac{3\pi}4-2x,\]因此 $^{[1]}$\[\begin{cases} y=\frac{3\pi}4-x,\\ z=3x-\frac{\pi}2,\end{cases}\implies 7x^2+2y^2-z^2=\frac{7\pi^2}8.\]
备注 $[1]$ 来自公众号数海钓鱼，可以列举\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline n&-3&-1&1&3&5&7\\ \hline \arctan r^n&x-\frac{\pi}4&\frac{\pi}2-x&x&\frac{3\pi}4-x&3x-\frac{\pi}2&5x-\frac{5\pi}4\\ \hline \end{array}\] 因此 \[\arctan ^3 r+\frac{1}{7} \arctan ^3 r^3-\frac{1}{7} \arctan ^3 r^5+3 \arctan ^3 r^{-3}=\frac{\pi^3}{32}, \\ \arctan ^3 r^3+\arctan ^3 r-3 \arctan ^3 r^{-1}-3 \arctan ^3 r^{-3}=\frac{3 \pi^3}{32},\] 而 $\arctan r^6=\frac{5\pi}4-2\arctan r^2$，于是\[\arctan ^2 r^2+\arctan ^2 r^6-5 \arctan ^2 r^{-2}=\frac{5 \pi^2}{16}.\]而 $s=\frac{1+\sqrt{17}-\sqrt{2\sqrt{17}+2}}4$ 是方程 $s^4=s^3+2s^2+s-1$ 的较小正根，有\[ \arctan s^2=\frac{\pi}2-3\arctan s,\quad \arctan s^3=2\arctan s-\frac{\pi}4,\] 于是\[ 3 \arctan ^2 s+\arctan ^2 s^2-3 \arctan ^2 s^3=\frac{\pi^2}{16} .\]
$[2]$ 可以利用 $\rm mma$ 指令寻找系数：\[{\rm FindIntergerNullVector[N[Table[ArcTan[r^k]^2,{k,-6,6}],100]]}.\]