已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2\sqrt 5,0)$，离心率为 $\sqrt 5$．
1、求双曲线 $C$ 的方程；
2、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M,N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上．
解析
1、设双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），则\[\begin{cases} \sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt 5,\\ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt 5,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=2,\\ b^2=16,\end{cases}\]因此所求双曲线的方程为 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{16}=1$．
2、根据题意，有 $A_1(-2,0),A_2(2,0)$，设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_3,y_3)$，则直线 $MN$ 过点 $T(-4,0)$，设 $\overrightarrow{TM}=\lambda \overrightarrow{TN}$，则\[\lambda= \dfrac{x_1+4}{x_2+4}=\dfrac{y_1}{y_2}=-\dfrac{x_1+1}{x_2+1},\quad \dfrac{y_1}{y_3}=\dfrac{x_1+2}{x_3+2},\quad\dfrac{y_2}{y_3}=\dfrac{x_2-2}{x_3-2},\]于是\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{\frac 13(x_1+4)+\frac 23(x_1+1)}{\frac 13(x_2+4)-\frac 23(x_2+1)}=\dfrac{x_1+2}{-\frac 13x_2+\frac 23}=\dfrac{x_1+2}{x_2-2}\cdot (-3)\implies \dfrac{x_3-2}{x_3+2}=-3,\]于是 $x_3=-1$，点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上．
另法 根据题意，有 $A_1(-2,0),A_2(2,0)$，以 $A_1(-2,0)$ 为基准点，设 $A_1M,A_1N,A_2N$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$，则根据双曲线的垂径定理，有\[k_2k_3=4,\]而直线 $MN$ 的方程为\[k_1k_2(x+2)+4(x-2)=(k_1+k_2)y,\]直线 $MN$ 过点 $(-4,0)$，于是\[k_1k_2=-12,\]联立直线 $A_1M:k_1(x+2)-y=0$ 和 $A_2N:k_3(x-2)-y=0$，可得点 $P$ 的横坐标为\[x_P=-\dfrac{2(k_1+k_3)}{k_1-k_3}=-\dfrac{2(k_1k_2+k_2k_3)}{k_1k_2-k_2k_3}=-\dfrac{2(-12+4)}{-12-4}=-1,\]因此点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上．