已知曲线 $C: \cos (x+y)=x^2+y^2$，则下列直线与曲线 $C$ 有交点的是（ ）
A．$y=1-2 x$
B．$y=1+2 x$
C．$y=1-\dfrac{x}{2}$
D．$y=1+\dfrac{x}{2}$
答案 ABD．
解析 四个选项分别为\[2x+y=1,2x-y=-1,2y+x=2,2y-x=2,\]考虑到问题关于 $x,y$ 对称，于是转化为考虑代数式 $2x+y$ 的取值范围 $M$ 与 $2x-y$ 的取值范围 $N$，选项即\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{选项}&A&B&C&D\\ \hline \text{含义}&1\in M&-1\in N&2\in M&2\in N\\ \hline\end{array}\] 由于 $0\leqslant \cos (x+y)\leqslant 1$，于是曲线 $C$ 是一条封闭曲线，且关于 $y=x,y=-x$ 对称．取 $y=-x$，可得点 $P_1\left(-\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2}\right),P_2\left(\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2}\right)$ 在曲线 $C$ 上．取 $y=x$，可得点 $Q_1(m,m),Q_2(-m,-m)$（$m>0$）在曲线 $C$ 上，其中\[\cos(2m)=2m^2\iff \sin^2m+m^2=\frac 12,\]于是 $m\in\left(\frac 12,\frac{\pi}6\right)$，因此\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{代数式}&P_1&P_2&Q_1&Q_2&\text{覆盖范围}&\text{选项}\\ \hline 2x+y&-\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}&3m&-3m&[-3m,3m]& AB\\ \hline 2x-y&-\frac{3}{\sqrt 2}&\frac{3}{\sqrt 2}&m&-m&\left[-\frac3{\sqrt 2},\frac{3}{\sqrt 2}\right]&D\\ \hline \end{array}\] 接下来考虑选项 $\boxed{C}$，若 $2x+y=2$，则\[ \cos (x+y)=x^2+y^2\iff \cos (2-x)=x^2+(2-2x)^2\iff \cos t=(2-t)^2+(2t-2)^2,\]其中 $t=2-x$，也即\[\cos t=5t^2-12t+8,\]设 $f(t)=5t^2-12t+8$，则当 $t<1$ 以及 $t> \frac{\pi}2$ 时，有 $f(t)>1>\cos t$；而当 $1\leqslant t\leqslant \frac{\pi}2$ 时．有\[\cos t\leqslant \cos 1<\cos\frac{\pi}4=\frac{\sqrt 2}2<\frac45\leqslant f(t),\]于是该方程无解，从而选项 $\boxed{C}$ 错误．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．