在平面凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAC=60^{\circ}$，$AB=2$，$BC=2\sqrt 3$，$\triangle BCD$ 的面积为 $3\sqrt 3$．当 $\angle ADB$ 最大时，四边形 $ABCD$ 的面积为 _____．
答案 $4\sqrt 3$．
解析 由 $\triangle BCD$ 的面积为 $3\sqrt 3$ 可得 $D$ 在到 $BC$ 的距离为 $3$ 的直线 $l$ 上，根据圆的等张角线定义，当 $\angle ADB$ 最大时，$\triangle ABD$ 的外接圆与直线 $l$ 切于点 $D$，如图．
设 $D$ 在直线 $AB$ 上的投影为 $H$，则\[DH^2=DA\cdot DB\implies DH=\sqrt 3\implies [\triangle ABD]=\sqrt 3,\]因此四边形 $ABCD$ 的面积为 $4\sqrt 3$．