已知函数 $f(x)=(x-a)^m(x-b)^n$（$m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m<n$，$a\neq b$）有且仅有 $3$ 个极值点 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则（ ）
A．$m$ 为奇数
B．$n$ 为奇数
C．若 $a<b$，则 $2 x_2>x_1+x_3$
D．若 $a>b$，则 $2 x_2>x_1+x_3$
答案 D．
解析 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=(x-a)^{m-1}(x-b)^{n-1}\big((m+n)x-(mb+na)\big),\]该函数有 $3$ 个变号零点，于是 $m,n$ 均为偶数且函数 $f(x)$ 的 $3$ 个极值点分别为 $a,b,\frac{mb+na}{m+n}$，其中第三个极值点 $x_2$ 在 $a,b$ 之间且更靠近 $a$，而 $2x_2>x_1+x_3$ 即 $x_2$ 更靠近较大的极值点，因此只有选项 $\boxed{D}$ 正确．